数列の極限の基礎は何か．

数列の極限において，基礎は何か．

　数列の極限の学習において，最低限計算できなければならない（基礎）は以下の２つである．

第 $n$ $n$ 項が計算できる．
- 第 $n$ 項の計算とは，自然数 $n$ に対応する数( $a_n$ )を $n$ で表すこと．
$n \rightarrow \infty$ を求めることができる．

　これらができれば後は応用なので，自分で考えたり，問題のパターンを整理することになる．

なぜこの２つなのか．

　極限は未定義の対応関係を定めることである．したがって，数列の極限は自然数 $n$ が $\infty$ のとき（未定義）の対応関係を定めるのである．そのために第 $n$ 項を $n$ で表し，これをもとに $n \rightarrow \infty$ して対応値を推定・定めることになる．

　もう少しだけ詳細に説明する．数列は自然数 $n$ とそれに対応する数 $a_n$ の対応関係と見ることができる．自然数に $\infty$ はないので，第 $n$ 項に現れる $n$ を大きくすることで対応値を推定し，それに定めることになる．したがって，自然数 $n$ に対応する第 $n$ 項を $n$ で表し（計算し），自然数 $n$ をとてつもなく大きく（ $\infty$ ）したときの対応値を求めることが基礎になる.

第n項の計算の基礎は何か．

　等差・等比関係をもとに第 $n$ 項を $n$ で表す（計算する）ことが基礎となる．高校数学では等差数列もしくは等比数列（第 $n$ 項と第 $n+1$ 項の関係が等差か等比）しかない．つまり， $a_{n+1} = a_n + d，a_{n+1} = ra_{n}$ である．この等差・等比関係をもとに第 $n$ 項を計算できればよい．（計算方法は別のいろいろなところで解説されているので，そちらを参照願う．）

第 $n$ 項の計算の基礎

等差・等比関係をもとに，第n項をnで表す（計算する）こと．

　学習が進むと，級数 $S_n$ についても計算することになる．これも第 $n$ 項と第 $n+1$ 項の関係が等差・等比しかないので，基礎ができれば問題はない．第 $n$ 項が計算できれば， $n \rightarrow \infty$ を求めるだけだから．

n → ∞の計算の基礎は何か．

　上で書いたとおり，極限は未定義の対応関係を定めることなので，数列においてやることは $n \rightarrow \infty$ しかない．そしてこの計算の基礎は以下となる．

n → ∞の計算の基礎

\lim_{n \to \infty} n \ が発散する(\infty) \ もしくは \ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

　 $\lim_{n \to \infty} \tfrac{1}{n} = 0$ は説明が必要である．これが言いたいことは， $n \rightarrow \infty$ のとき，分子と分母を比較すると分母が分子を無視できるほど大きくなる形に変形して， $0$ にすることである．例えば，

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n} = 0

は分母 $2^n$ が分子 $n$ よりとても大きくなるので， $0$ に収束する．変形して $0$ にするということは，

\frac{2^n+n}{2^n+3} = \frac{1+\frac{n}{2^n}}{1+\frac{3}{2^n}} \rightarrow 1 \ ( n \rightarrow \infty )

ということ．