1次関係、1次従属、1次独立についての主張（定義）.

1次関係

　ベクトル $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots , \boldsymbol{a}_m$ が $c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{a}_2 + \cdots + c_m\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0} \space ( c_i \in \reals)$ を満たすとき，これをベクトル $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots , \boldsymbol{a}_m$ の1次関係という．

　すべての $c_i$ が0のとき， $0\boldsymbol{a}_1 + 0\boldsymbol{a}_2 + \cdots + 0\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0}$ はどんなベクトル $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots , \boldsymbol{a}_m$ についても成り立つ．これを自明な1次関係という．

1次関係の主張

　ベクトルの組 $\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_m$ の $\text{１次結合}=\boldsymbol{0}$ となる関係式のことを１次関係という．関係式さえ満たされれば，係数 $c_i \in \reals \space ( i = 1, \cdots , m)$ については気にしない． $c_1=c_2=\cdots=c_m=0$ のとき，どんなベクトルの組でも関係式は必ず満たされるので，関係式は存在するのかを考える必要はない．

　ベクトルの組を行列 $A=(\boldsymbol{a}_1 \cdots \boldsymbol{a}_m)$ とみれば， $\boldsymbol{Ac}=\boldsymbol{0}$ が関係式である．（ $\boldsymbol{c}=\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_m \end{pmatrix}$ である．）また， $\boldsymbol{Ac}=\boldsymbol{0}$ を満たす $\boldsymbol{c}$ の集合を $X$ とすれば， $\text{Ker}f=X$ である．（ $f$ ってなんだよというのは置いておいて．）

1次独立について

1次独立

　ベクトルの組 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots , \boldsymbol{a}_m$ について，1次関係 $c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{a}_2 + \cdots + c_m\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0}$ が成り立つのは，自明な1次関係すなわち， $c_1 = c_2 = \cdots = c_m = 0$ の場合のみであるとき， $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots , \boldsymbol{a}_m$ は1次独立であるという．

1次独立の主張

　ベクトル空間内の元（ベクトル）を何個か適当に取ってきて，それらを1組と考えた場合，この組の中だけで各元の関係性を調べると，それぞれが独立していると主張している．（独立とは，ある元がその他の元の1次結合で表現できないときをいう．）これを数学的に表現すると，1次関係が自明なもののみ成り立つときが1次独立である．

　ベクトルの組のそれぞれのベクトルについて、これらがどのような関係性なのかを主張しているのであって，別のベクトルの組は同じ関係性であるかどうかはわからない（1次従属かもしれない）。

　誤って理解してはいけないことは，１組の1次独立のベクトルの数＝次元数，1次独立＝基底ではない．3次元ベクトル空間のある２つのベクトルの組が1次独立であっても，組のベクトル数は次元数とは異なるし，基底になっていない．

　１次関係で出てきた集合 $X$ で言えば，ベクトルの組が1次独立であることは $X=\{\boldsymbol{0}\}$ である．これが”1次関係が成り立つのは自明な1次関係の場合のみであるとき”の意味である．

1次従属について

　ベクトルの組 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots , \boldsymbol{a}_m$ が1次独立でないとき，1次従属であるという．すなわち $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots , \boldsymbol{a}_m$ が1次従属であるとは，1次関係 $c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{a} + \cdots + c_m\boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0}$ を満たす $c_1, c_2, \cdots , c_m$ で，そのうちの少なくとも1つが0でないものが存在するときにいう．

1次従属の主張

　ベクトル空間内の元（ベクトル）を何個か適当に取ってきてそれらを1組と考えた場合，この組が1次独立でないとき1次従属であると主張している．別の言い方をすれば，この組の中だけで各元の関係性を調べると，ある元はその他の元の1次結合で表現できてしまうとき，この組は1次従属であるという．

　これも1次独立と同じく，ベクトルの組がどのような関係性なのか（1次独立なのか？1次従属なのか？）を主張している．

　1次関係で出てきた集合 $X$ で言えば，ベクトルの組が1次従属であることは $X \neq \{\boldsymbol{0}\}$ である．すなわち，集合 $X$ にはゼロベクトル（ $\boldsymbol{0}$ ）以外に元が存在するということ．

もう少し深堀り

　1次関係は $\text{Ker}f$ のことで，自明な1次関係を必ず満たし，非自明な1次関係とともに構成される．すなわち， $\text{Ker}f$ は1次独立と関係するゼロベクトルを必ず含み，1次従属と関係するゼロベクトル以外のベクトル $\boldsymbol{c}$ で構成される集合であるとみえる．

　1次関係は関係式のことで，1次独立と1次従属はベクトルの組の各ベクトルの関係性についての主張であり，両者を区別しないと混乱する．

復習ノート

以下の質問に答えよ．

1次関係とは何か．
1次独立とは何か．
1次従属とは何か．
1次関係と1次独立・1次従属はどういう関係か．