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数学の主張

線形写像の単射性とベクトル空間の関係（定理7.3.2）

定理7.3.2

　線形写像𝑓:𝑉→𝑊が単射であるための必要十分条件は

Ker𝑓={𝟎}．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　線形写像𝑓の単射性を知りたいならば，Ker𝑓の元を調べよ．Ker𝑓の元（ベクトル）が𝟎（ゼロベクトル）のみであれば，𝑓は単射である．

　線形写像𝑓により，𝟎∈𝑊に対応する𝑉の元が𝟎（ゼロベクトル）のみなら，𝑓は単射であるということ．

線形写像の単射性とベクトル空間の対応関係
線形写像の単射性とベクトル空間の対応関係

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

  1. 𝑓は単射⟹Ker𝑓={𝟎}を示す．

    　𝑓は単射であると仮定する．このとき，Ker𝑓⊂{𝟎} かつ {𝟎}⊂Ker𝑓であることを示せばよい．

    {𝟎}⊂Ker𝑓を示す.

    　これは明らか．

    Ker𝑓⊂{𝟎}を示す.

    　𝒙∈Ker𝑓⟹𝒙∈{𝟎}であることを示す．

    　𝒙∈Ker𝑓とする．このとき，Ker𝑓の定義より𝑓(𝒙)=𝟎が成り立つ．仮定より𝑓は単射なので，𝑓(𝒙)=𝟎を満たす𝒙は１つで𝟎である．よって，𝒙∈{𝟎}．したがって，Ker𝑓⊂{𝟎}．

    　以上から，Ker𝑓={𝟎}．

  2. Ker𝑓={𝟎}⟹𝑓は単射を示す．

    　単射の定義より，𝑓(𝒙)=𝑓(𝒚)⟹𝒙=𝒚を示せばよい．

    　𝑓(𝒙)=𝑓(𝒚)とする．線形性より式を変形して𝑓(𝒙−𝒚)=𝟎．Ker𝑓={𝟎}より，𝒙−𝒚=𝟎．よって，𝒙=𝒚．したがって，𝑓は単射である．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 次元定理とどのように関連しているだろうか．
  • 次元定理とは何だっただろうか．
  • Ker𝑓の定義は何か．
  • 𝑓が単射ではない場合は𝑉,𝑊の対応関係をどのように図示できるだろうか．