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数学の主張

線形写像の単射性とベクトル空間の関係（定理7.3.2）

定理7.3.2

　線形写像f ⁣:V→Wf \colon V \to Wが単射であるための必要十分条件は

Kerf={0}．\text{Ker}f = \{ \boldsymbol{0} \} ．

定理の主張

　線形写像ffの単射性を知りたいならば，Kerf\text{Ker}fの元を調べよ．Kerf\text{Ker}fの元（ベクトル）が0\boldsymbol{0}（ゼロベクトル）のみであれば，ffは単射である．

　線形写像ffにより，0∈W\boldsymbol{0} \in Wに対応するVVの元が0\boldsymbol{0}（ゼロベクトル）のみなら，ffは単射であるということ．

線形写像の単射性とベクトル空間の対応関係
線形写像の単射性とベクトル空間の対応関係

証明の考え方

  1. fは単射  ⟹  Kerf={0} f\text{は単射}\implies \text{Ker}f = \{ \boldsymbol{0} \}\space を示す．

    　ffは単射であると仮定する．このとき，Kerf⊂{0}\text{Ker}f \subset \{ \boldsymbol{0} \} かつ {0}⊂Kerf\{ \boldsymbol{0} \} \subset \text{Ker}fであることを示せばよい．

    {0}⊂Kerf\{ \boldsymbol{0} \} \subset \text{Ker}f を示す.

    　これは明らか．

    Kerf⊂{0}\text{Ker}f \subset \{ \boldsymbol{0} \} を示す.

    　x∈Kerf  ⟹  x∈{0}\boldsymbol{x} \in \text{Ker}f \implies \boldsymbol{x} \in \{ \boldsymbol{0} \} であることを示す．

    　x∈Kerf\boldsymbol{x} \in \text{Ker}f とする．このとき，Kerf\text{Ker}fの定義よりf(x)=0f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}が成り立つ．仮定よりffは単射なので，f(x)=0f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}を満たすx\boldsymbol{x}は１つで0\boldsymbol{0}である．よって，x∈{0}\boldsymbol{x} \in \{ \boldsymbol{0} \}．したがって，Kerf⊂{0}\text{Ker}f \subset \{ \boldsymbol{0} \} ．

    　以上から，Kerf={0}\text{Ker}f = \{ \boldsymbol{0} \}．

  2. Kerf={0}  ⟹  fは単射\text{Ker}f = \{ \boldsymbol{0} \} \implies f\text{は単射}を示す．

    　単射の定義より，f(x)=f(y)  ⟹  x=y f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{y}) \implies \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y} \spaceを示せばよい．

    　f(x)=f(y)f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{y}) とする．線形性より式を変形してf(x−y)=0f(\boldsymbol{x-y}) = \boldsymbol{0}．Kerf={0}\text{Ker}f = \{ \boldsymbol{0} \}より，x−y=0\boldsymbol{x-y=0}．よって，x=y\boldsymbol{x=y}．したがって，ffは単射である．

復習ノート

  • 次元定理とどのように関連しているだろうか．
  • 次元定理とは何だっただろうか．
  • Kerf\text{Ker}fの定義は何か．
  • ffが単射ではない場合はV,WV, Wの対応関係をどのように図示できるだろうか．