線形写像の単射性と次元の関係について（定理7.3.3（1））

定理7.3.3

　$f \colon V \to W$を線形写像とするとき，$f$が単射であるための必要十分条件は

$$\text{dim} (\text{Im}f) = \text{dim} V．$$

定理の主張

　次元定理からわかるとおり，$f$が線形写像のみの性質を持つなら$\text{dim}V \neq \text{dim}(\text{Im}f)$である．しかしこの定理では$f$が単射なら，$V$と$\text{Im}f$の次元が同じになると言っている．（正しくは逆も成り立つという主張．）

線形写像の単射性とベクトル空間の対応関係

線形写像とベクトル空間の対応関係

証明の考え方

1. $f$が単射$\implies \text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}V$

   真正面から証明しようとするなら，$\text{dim}(\text{Im}f) \le \text{dim}V$かつ$\text{dim}(\text{Im}f) \ge \text{dim}V$を示せばよいが，定理7.3.2と次元定理から導出できそう．

   　$f$は単射であるとする．定理7.3.2より$\text{Ker}f = \{ \boldsymbol{0}\}$．よって，$\text{dim}(\text{Ker}f)=0$．次元定理より，$\text{dim}V = \text{dim}(\text{Im}f)+\text{dim}(\text{Ker}f)$なので，$\text{dim}V=\text{dim}(\text{Im}f)$．

2. $\text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}V \implies$ $f$が単射

   　こちらも真正面から証明しようとするなら，単射の定義から$f$が単射であること導く．しかし，こちらも次元定理と定理7.3.2から導けそう．

   　$\text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}V$とする．次元定理より$\text{dim}(\text{Ker}f)=0$．これと$f$は線形写像であることより，$\text{Ker}f = \{ \boldsymbol{0} \}$．定理7.3.2から$f$は単射．

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復習ノート

• 次元の関係性は$f$が線形のときと$f$が線形＋単射の場合で，どう異なるのか．
• 写像による対応関係，次元との関係を図示できるか．