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数学の主張

線形写像の全射性と次元の関係について（定理7.3.3（2））

定理7.3.3

　f ⁣:V→Wf \colon V \to Wを線形写像とするとき，

fは全射  ⟺  dim(Imf)=dimW.f \text{は全射} \iff \text{dim}(\text{Im}f) = \text{dim}W.

定理の主張

線形写像の全射性とベクトル空間の対応関係
線形写像の全射性とベクトル空間の対応関係

証明の考え方

  1. fは全射  ⟹  dim(Imf)=dimWを示す．f \text{は全射} \implies \text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}W \text{を示す．}

    　dim(Imf)≥dimW\text{dim}(\text{Im}f) \ge \text{dim}Wかつdim(Imf)≤dimW\text{dim}(\text{Im}f) \le \text{dim}Wを示せばよい．

    dim(Imf)≤dimW\text{dim}(\text{Im}f) \le \text{dim}Wを示す．

    　一般にImf⊆W\text{Im}f \subseteq Wである．よって，dim(Imf)≤dimW\text{dim}(\text{Im}f) \le \text{dim}W．

    dim(Imf)≥dimW\text{dim}(\text{Im}f) \ge \text{dim}Wを示す．

    　W⊆ImfW \subseteq \text{Im}fを示す．y∈W\boldsymbol{y} \in Wとすると，ffは全射なのでy=f(x)\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})なるx∈V\boldsymbol{x} \in Vが存在する．Imf\text{Im}fの定義よりImf={f(x)∈W∣x∈V}\text{Im}f = \{ f(\boldsymbol{x}) \in W | \boldsymbol{x} \in V \}なので，y∈Imf\boldsymbol{y} \in \text{Im}f．よって，W⊆ImfW \subseteq \text{Im}f．したがって，dim(Imf)≥dimW\text{dim}(\text{Im}f) \ge \text{dim}W．

    　以上から，dim(Imf)=dimW\text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}W．

  2. dim(Imf)=dimW  ⟹  fは全射を示す． \text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}W \implies f \text{は全射} \text{を示す．}

    　dim(Imf)=dimW\text{dim}(\text{Im}f)=\text{dim}Wとする．ffが全射であることを示すので，定義から任意のy∈W\boldsymbol{y} \in Wに対して，y=f(x)\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})を満たすx∈V\boldsymbol{x} \in Vが存在することを示せばよい．

    　y∈W\boldsymbol{y} \in Wとおく．仮定からdim(Imf)=dimW\text{dim}(\text{Im}f) = \text{dim}Wなので，定理6.8.6よりImf=W\text{Im}f=Wである．よって，y∈Imf\boldsymbol{y} \in \text{Im}f．Imf\text{Im}fの定義より，y=f(x)\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})を満たすx∈V\boldsymbol{x} \in Vが存在することが言える．したがって，ffは全射．