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数学の主張

線形写像の全射性と次元の関係について（定理7.3.3（2））

定理7.3.3

　𝑓:𝑉→𝑊を線形写像とするとき，

𝑓は全射⟺dim(Im𝑓)=dim𝑊.

定理の主張

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線形写像の全射性とベクトル空間の対応関係
線形写像の全射性とベクトル空間の対応関係

証明の考え方

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  1. 𝑓は全射⟹dim(Im𝑓)=dim𝑊を示す．

    　dim(Im𝑓)≥dim𝑊かつdim(Im𝑓)≤dim𝑊を示せばよい．

    dim(Im𝑓)≤dim𝑊を示す．

    　一般にIm𝑓⊆𝑊である．よって，dim(Im𝑓)≤dim𝑊．

    dim(Im𝑓)≥dim𝑊を示す．

    　𝑊⊆Im𝑓を示す．𝒚∈𝑊とすると，𝑓は全射なので𝒚=𝑓(𝒙)なる𝒙∈𝑉が存在する．Im𝑓の定義よりIm𝑓={𝑓(𝒙)∈𝑊|𝒙∈𝑉}なので，𝒚∈Im𝑓．よって，𝑊⊆Im𝑓．したがって，dim(Im𝑓)≥dim𝑊．

    　以上から，dim(Im𝑓)=dim𝑊．

  2. dim(Im𝑓)=dim𝑊⟹𝑓は全射を示す．

    　dim(Im𝑓)=dim𝑊とする．𝑓が全射であることを示すので，定義から任意の𝒚∈𝑊に対して，𝒚=𝑓(𝒙)を満たす𝒙∈𝑉が存在することを示せばよい．

    　𝒚∈𝑊とおく．仮定からdim(Im𝑓)=dim𝑊なので，定理6.8.6よりIm𝑓=𝑊である．よって，𝒚∈Im𝑓．Im𝑓の定義より，𝒚=𝑓(𝒙)を満たす𝒙∈𝑉が存在することが言える．したがって，𝑓は全射．