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数学の主張

線形変換fとf-λ1の安定像空間は同値である．

命題

　線形変換𝑓:𝑉→𝑉とその固有値𝜆が与えられたとき，𝑓の安定像空間𝑉′𝑘と線形変換𝑓−𝜆1:𝑉→𝑉の安定像空間𝑉𝑘は同値である．すなわち，𝑉′𝑘=𝑉𝑘である．

証明

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　背理法で示す．すなわち，𝑉′𝑘≠𝑉𝑘として矛盾を示す．

　𝒙∈𝑉′𝑘−𝑉𝑘が存在すると仮定する．これは特に𝒙≠𝟎である．

　𝒙¬∈𝑉𝑘より，𝒙∈𝑊𝑘である．よって，(𝑓−𝜆1)𝑘(𝒙)=𝟎．

　(𝑓−𝜆1)𝑘|𝑉𝑘:𝑉𝑘→𝑉𝑘を定義すると，(𝑓−𝜆1)𝑘|𝑉𝐾は同型写像なので，𝒙∈𝑉𝑘であることも考慮して，(𝑓−𝜆1)𝑘(𝒙)=𝟎ならば，𝒙=𝟎．しかし，これは𝒙≠𝟎であることに矛盾する．

　以上より，𝑉′𝑘=𝑉𝑘である．すなわち，線形変換𝑓と𝑓−𝜆1の安定像空間は同値である．