ジョルダン標準形の主張．

定理12.10.1

　 $n$ 次実正方行列 $A$ が，重複もこめて $n$ 個の固有値をもつならば，適当な正則行列 $P$ によって

P^{-1}AP

はジョルダンの標準形になる．

定理の主張

　固有値の数がベクトル空間の次元と同じなら、ベクトル空間は一般固有空間で分解できる．

　そして，各一般固有空間はジョルダン・ダイヤグラムを構成する基底で考えると，その表現行列はジョルダン・ブロックで表される．

　適当な正則行列 $P$ は何かといえば，直和分解した一般固有空間の各ジョルダン・ダイアグラムを順番に並べたものである．

証明の考え方

一般固有空間による直和分解

　 $\text{線形変換}f \colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ とし， $\text{線形変換}f$ の表現行列を $A$ とする．定理12.6.1により， $\mathbb{R}^n$ は一般固有空間に直和分解される．つまり，
$\mathbb{R}^n = W(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus W(\lambda_r)．$
すると定理12.1.1より，ある正則行列 $P$ があって，
$\begin{equation} P^{-1}AP = \begin{pmatrix} A_1 & & \huge{0} \\ & \ddots & \\ \huge{0} & & A_r \end{pmatrix} \end{equation}$
となる．各 $A_i$ がジョルダン・ブロックで表されればよい．
べき零写像の表現行列を考える．

　 $f_i-\lambda_i id \space \colon \space W(\lambda_i) \rightarrow W(\lambda_i)$ を考える（ $id$ は恒等写像，f_iの表現行列は $A_i$ ）． $f_i - \lambda_i id$ は $W(\lambda_i)$ でべき零写像である．記述の簡略のため， $g_i = f_i - \lambda_i id$ とおく．

　このべき零写像 $g_i$ のフィルトレーションに関係して $W(\lambda_i)$ の基底をうまく選ぶ．つまり，ジョルダン・ダイヤグラムである．そして，この基底に関して $g_i$ の表現行列を考える．ここにジョルダン・ブロックが現れるからである．

表現行列

　表現行列は基底の像と基底との関係であるから，その関係を一部記載すると，
$g_i(g_i^{k-1}(\boldsymbol{x_1}) \cdots g_i(\boldsymbol{x_1}) \space \boldsymbol{x_1}) = (g_i^{k-1}(\boldsymbol{x_1}) \cdots g_i(\boldsymbol{x_1}) \space \boldsymbol{x_1}) J(0,k_1)$
となる．つまり， $g_i$ 表現行列の一部は $J(0,k_1)$ である．

表現行列の全体は以下のようになる．
$(g_i = f_i - \lambda_i id =)A_i - \lambda_i E = \begin{pmatrix} J(0, k_1) & & \huge{0} \\ & \ddots & & \\ \huge{0} & & J(0, k_p) \\ \end{pmatrix}$
これを $A_i$ について解くと，
$A_i = \begin{pmatrix} J(\lambda_i, k_1) & & \huge{0} \\ & \ddots & & \\ \huge{0} & & J(\lambda_i, k_p) \\ \end{pmatrix}$
ジョルダン標準形

　各 $A_i$ を(1)に代入すると， $P^{-1}AP$ はジョルダン標準形となる．

復習ノート

　ジョルダン標準形の証明には以下を理解している必要がある．

一般固有空間による直和分解．
べき零写像のジョルダン・ダイヤグラムによる表現行列．