P106 第4章章末問題7(2)を解く．【線形代数学（川久保勝夫著）】

問題7(2)

次の行列式を計算せよ．

\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}

解答

\begin{align} \begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c \\ b & b^2 & a+b+c \\ c & c^2 & a+b+c \end{vmatrix} \\ &= (a+b+c) \begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix} \\ &= (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \\ \end{vmatrix} \\ &= (a+b+c)(c-a)(c-b)(b-a) \\ &= (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) \end{align}