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数学の主張

P106 第4章 章末問題7(3)を解く．【線形代数学（川久保勝夫著）】

問題7(3)

次の行列式を計算せよ．

∣abca2bcab2cabc2∣\begin{vmatrix} a & bc & a^2 \\ b & ca & b^2 \\ c & ab & c^2 \\ \end{vmatrix}

　基本変形と余因子展開で計算するテクニカルな問題だが，どう解くのか途中式がないとわからない可能性がある （私はGeminiの助けをもとに解いた．）．途中式を記し，解答する．

解答

∣abca2bcab2cabc2∣=∣abca2b−aca−bcb2−a2c−aab−bcc2−a2∣=(b−a)(c−a)∣abca21−cb+a1−bc+a∣\begin{align} \begin{vmatrix} a & bc & a^2 \\ b & ca & b^2 \\ c & ab & c^2 \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a & bc & a^2 \\ b-a & ca-bc & b^2-a^2 \\ c-a & ab-bc & c^2-a^2 \\ \end{vmatrix} \\ &= (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} a & bc & a^2 \\ 1 & -c & b+a \\ 1 & -b & c+a \\ \end{vmatrix} \\ \end{align}
  • (1)は行基本変形を行った．
    1. (-1)x1行目を2行目に加える．
    2. (-1)x1行目を3行目に加える．
  • (2)は2行目，3行目の共通因数を外に出した．
∣abca21−cb+a1−bc+a∣=∣0bc+ba−ca0−c+bb−c1−bc+a∣=∣bc+ba−ca−c+bb−c∣=(b−c)∣bc+ba−ca11∣=(b−c)∣bc+ba+ca−ca01∣=(b−c)(ab+bc+ca)\begin{align} \begin{vmatrix} a & bc & a^2 \\ 1 & -c & b+a \\ 1 & -b & c+a \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 0 & bc + ba & -ca \\ 0 & -c + b & b - c \\ 1 & -b & c + a \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} bc+ba & -ca \\ -c+b & b-c \\ \end{vmatrix} \\ &= (b-c) \begin{vmatrix} bc+ba & -ca \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &= (b-c) \begin{vmatrix} bc+ba+ca & -ca \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &= (b-c)(ab+bc+ca) \end{align}
  • (3)は行基本変形により，(1,1)成分，(2,1)成分を0にする．
  • (4)は余因子展開．
  • (5)は2行目の共通因子を外に出した．
  • (6)は行基本変形により，(2,1)成分を0にする．
  • (7)は余因子展開．

　(2)と(7)を合わせて，

∣abca2bcab2cabc2∣=−(a−b)(b−c)(c−a)(ab+bc+ca)\begin{vmatrix} a & bc & a^2 \\ b & ca & b^2 \\ c & ab & c^2 \\ \end{vmatrix} = -(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)