P106 第4章 章末問題7(4)を解く．【線形代数学（川久保勝夫著）】

問題7(4)

　次の行列式を計算せよ．

$$\begin{vmatrix} a+b+c & -c & -b \\ -c & a+b+c & -a \\ -b & -a & a+b+c \end{vmatrix}$$

解答

$$\begin{align} \begin{vmatrix} a+b+c & -c & -b \\ -c & a+b+c & -a \\ -b & -a & a+b+c \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a+b & -c & -b \\ a+b & a+b+c & -a \\ -(a+b) & -a & a+b+c \end{vmatrix} \\ &= (a+b) \begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ 1 & a+b+c & -a \\ -1 & -a & a+b+c \end{vmatrix} \\ \end{align}$$

• (1)は2列目を1列目に加えた．
• (2)は1列目の共通因子(a+b)を外に出した．

$$\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ 1 & a+b+c & -a \\ -1 & -a & a+b+c \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ 0 & a+b+2c & -a+b \\ 0 & -(a+c) & a+c \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a+b+2c & -a+b \\ -(a+b) & a+c \end{vmatrix} \\ &= (a+c) \begin{vmatrix} a+b+2c & -a+b \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\ &= (a+c) \begin{vmatrix} 2(b+c) & -a+b \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ &= 2(a+c)(b+c) \end{align}$$

• (3)は2行目に1行目x(-1)を加え，3行目に1行目を加えた．
• (4)は1列目で余因子展開をした．
• (5)は2行目の共通因子を外に出した．
• (6)は2列目を1列目に加えた．
• (7)は2行目で余因子展開をした．

(2)と(7)を合わせて，

$$\begin{vmatrix} a+b+c & -c & -b \\ -c & a+b+c & -a \\ -b & -a & a+b+c \end{vmatrix} = 2(a+b)(b+c)(c+a)$$