P106 第4章 章末問題8(1)を解く．【線形代数学（川久保勝夫著）】

問題8(1)

　次の行列式を計算せよ．

$$\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \\ \end{vmatrix}$$

解答

$$\begin{align} \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ a+c & b+d & a+c & b+d \\ b+d & a+c & b+d & a+c \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a-c & b-d & c & d \\ b-d & a-c & d & c \\ 0 & 0 & a+c & b+d \\ 0 & 0 & b+d & a+c \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a-c & b-d \\ b-d & a-c \\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a+c & b+d \\ b+d & a+c \\ \end{vmatrix} \end{align}$$

• (1)は3行目に1行目を加え，4行目に1行目を加えた．
• (2)は1列目に3列目x(-1)を加え，2列目に4列目x(-1)を加えた．
• (3)は定理4.6.2(ブログ未記事)の展開をした．

$$\begin{align} \begin{vmatrix} a-c & b-d \\ b-d & a-c \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a-c & a+b-c-d \\ b-d & a+b-c-d \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a-b-c+d & 0 \\ b-d & a+b-c-d \\ \end{vmatrix} \\ &= (a+b-c-d)(a-b-c+d) \end{align}$$

• (4)は2列目に1列目を加えた．
• (5)は1行目に2行目x(-1)を加えた．
• (6)は行列式を展開した．

$$\begin{align} \begin{vmatrix} a+c & b+d \\ b+d & a+c \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a+c & a+c+b+d \\ b+d & a+b+c+d \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a-b+c-d & 0 \\ b+d & a+b+c+d \\ \end{vmatrix} \\ &= (a+b+c+d)(a-b+c-d) \end{align}$$

• (7)は2列目に1列目を加えた．
• (8)は1行目に2行目x(-1)を加えた．
• (9)は行列式を展開した．

最終的には，(3)，(6)，(9)を合わせて，

$$\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \\ \end{vmatrix} = (a+b+c+d)(a-b+c-d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)$$