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数学の主張

ヴァンデルモンドの行列式を再帰的に示す．

　他のサイトで示す帰納的な証明を再帰的に見せているだけだが，個性的な方法なのでわかりづらいかもしれない．

ヴァンデルモンドの行列式

∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋮x1n−1x2n−1xnn−1∣=∏1≤i<j≤n(xj−xi)\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j-x_i)

証明

Ak=(11⋯1xn−k+1xn−k+2⋯xnxn−k+12xn−k+22⋯xn2⋮⋮⋮xn−k+1k−1xn−k+2k−1⋯xnk−1)A_k = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{n-k+1} & x_{n-k+2} & \cdots & x_n \\ x_{n-k+1}^2 & x_{n-k+2}^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n-k+1}^{k-1} & x_{n-k+2}^{k-1} & \cdots & x_n^{k-1} \\ \end{pmatrix}

とおく．

　k=2k=2のとき，

∣A2∣=∣11xn−1xn∣=∣110xn−xn−1∣=∏n−1≤i<j≤n(xj−xi)\begin{align} |A_2| &= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x_{n-1} & x_{n} \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & x_n - x_{n-1} \\ \end{vmatrix} \\ &= \prod_{n-1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) \end{align}
  • (2)は行基本変形を行った．
    • 1行目x(−xn−1-x_{n-1})を2行目に加えた．
  • (3)は余因子展開を行った結果をヴァンでルモンドの行列式の結果に合わせた．

　k=3k=3のとき

∣A3∣=∣111xn−2xn−1xnxn−22xn−12xn2∣=∣1111xn−1xn0xn−1(xn−1−xn−2)xn(xn−xn−2)∣=∣1110xn−1−xn−2xn−xn−20xn−1(xn−1−xn−2)xn(xn−xn−2)∣=∣xn−1−xn−2xn−xn−2xn−1(xn−1−xn−2)xn(xn−xn−2)∣=∏n−2<k≤n(xk−xn−2)∣11xn−1xn∣=∏n−2<k≤n(xk−xn−2)∣A2∣=∏n−2≤i<j≤n(xj−xi)\begin{align} |A_3| &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_{n-2} & x_{n-1} & x_{n} \\ x_{n-2}^2 & x_{n-1}^2 & x_{n}^2 \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x_{n-1} & x_{n} \\ 0 & x_{n-1}(x_{n-1} - x_{n-2}) & x_{n}(x_n - x_{n-2}) \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x_{n-1}-x_{n-2} & x_{n}-x_{n-2} \\ 0 & x_{n-1}(x_{n-1} - x_{n-2}) & x_{n}(x_n - x_{n-2}) \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_{n-1}-x_{n-2} & x_{n}-x_{n-2} \\ x_{n-1}(x_{n-1} - x_{n-2}) & x_{n}(x_n - x_{n-2}) \\ \end{vmatrix} \\ &= \prod_{n-2 < k \leq n}(x_k - x_{n-2}) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x_{n-1} & x_{n} \\ \end{vmatrix} \\ &= \prod_{n-2 < k \leq n}(x_k - x_{n-2}) |A_2| \\ &= \prod_{n-2 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i) \end{align}
  • (5)(6)は行基本変形を行った．
    • 2行目x(−xn−2-x_{n-2})を3行目に加えた．
    • 1行目x(−xn−2-x_{n-2})を2行目に加えた．
  • (7)は余因子展開を行った．
  • (8)は列基本変形を行った．
    • 列の共通因子を外に出した．
  • (10)はヴァンデルモンドの行列式の結果に合わせた．

　4≤k≤n−14 \leq k \leq n-1のときも同じように計算すると，

∣Ak∣=∏n−k+1≤i<j≤n(xj−xi)|A_k| = \prod_{n-k+1 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i)

となる．特に

∣An−1∣=∏2≤i<j≤n(xj−xi)|A_{n-1}| = \prod_{2 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i)

となる．

　いよいよk=nk=nのときを示す．

∣An∣=∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣=∣11⋯10x2−x1⋯xn−x10x2(x2−x1)⋯xn(xn−x1)⋮⋮⋮0x2n−2(x2−x1)⋯xnn−2(xn−x1)∣=∣x2−x1⋯xn−x1x2(x2−x1)⋯xn(xn−x1)⋮⋮x2n−2(x2−x1)⋯xnn−2(xn−x1)∣=∏2≤k≤n(xk−x1)∣11⋯1x2x3⋯xnx22x32⋯xn2⋮⋮⋮x2n−2x3n−2⋯xnn−2∣=∏2≤k≤n(xk−x1)∣An−1∣=∏1≤i<j≤n(xj−xi)\begin{align} |A_n| &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^2 & x_{2}^2 & \cdots & x_{n}^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_{2}-x_1 & \cdots & x_{n}-x_1 \\ 0 & x_{2}(x_2-x_1) & \cdots & x_{n}(x_n-x_1) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & x_{2}^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_{n}^{n-2}(x_n-x_1) \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_{2}-x_1 & \cdots & x_{n}-x_1 \\ x_{2}(x_2-x_1) & \cdots & x_{n}(x_n-x_1) \\ \vdots & & \vdots \\ x_{2}^{n-2}(x_2-x_1) & \cdots & x_{n}^{n-2}(x_n-x_1) \\ \end{vmatrix} \\ &= \prod_{2 \leq k \leq n}(x_k - x_1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n} \\ x_{2}^2 & x_{3}^2 & \cdots & x_{n}^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{2}^{n-2} & x_{3}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-2} \\ \end{vmatrix} \\ &= \prod_{2 \leq k \leq n}(x_k - x_1) |A_{n-1}| \\ &= \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i) \\ \end{align}
  • (12)は行基本変形を行った．
    • n-1行目x(-x_1)をn行目に加え，因数分解した．
    • k-1行目x(-x_1)をk行目に加え，因数分解した．(kをn-1から順に2まで行う．)
  • (13)は余因子展開を行った．
  • (14)は列基本変形により，共通因数を外に出した．
  • (16)はヴァンデルモンドの行列式の結果．

　以上により，ヴァンデルモンドの行列式を示した．