像空間と核空間についての例題（例題13）

例題13

　次の線形写像$F$について，$\text{Im}F$，$\text{Ker}F$の基底の１つを求めよ．

• $F \colon \reals^{3} \to \reals^{2}$，$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} x_1+x_2+3x_3 \\ 2x_1+3x_2+4x_3 \end{pmatrix}$

例題の主張

　線形写像が具体的に与えられたとき，$\text{Im}Fと\text{Ker}F$が求められる．

解答の考え方

1. $\text{Im}F$の基底を１つ求める．

   　$\text{Im}F$の基底を１つ求める．すなわち，$\text{Im}F = L(\boldsymbol{a}_1, \cdots , \boldsymbol{a}_n)$なる1次独立なベクトルの組$\boldsymbol{a}_1, \cdots , \boldsymbol{a}_n$を求める．（$L(\boldsymbol{a}_1, \cdots , \boldsymbol{a}_n)$は$\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n$によって生成される$\reals^2$の部分空間である．）

   　ベクトルの組$\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n$は標準基底に関する$F$の表現行列である．$\begin{pmatrix} F( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) & F(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) & F( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$であるから，$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \Big( = ( \boldsymbol{a}_1 \space \boldsymbol{a}_2 \space \boldsymbol{a}_3 ) とする\Big)$が表現行列である．すると，$\text{Im}F = L(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3)$である．

   　$\text{dim} \text{Im} F \leq \text{dim} \reals^2 = 2$より，$\text{Im}F$の1次独立なベクトルの数は最大2である．$\boldsymbol{a}_1と\boldsymbol{a}_2$は1次独立なので，$L(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3)=L(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2)$である．よって，$\text{Im}F = L(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2)$であり，求める基底は$\langle \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2 \rangle$．

2. $\text{Ker}F$の基底を１つ求める．

   　$\text{Ker}F$の基底を１つ求める．すなわち，$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}なる\boldsymbol{x} \in \reals^3$の１つを求める．

   　$\begin{pmatrix} x_1+x_2+3x_3 \\ 2x_1+3x_2+4x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}$を計算すると，$\boldsymbol{x}=t \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} \space ( t \in \reals)$となる．$\boldsymbol{x}$の代表として$\begin{pmatrix} -5\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$をとると，求める基底は$\begin{pmatrix} -5 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$．

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復習ノート

• $\text{Im}fと\text{Ker}f$の定義を答えよ．
• 生成される部分空間とは何か．
• 表現行列とは何か．
• 基底と1次独立の違いは何か．