P106 第4章 章末問題8(2)を解く．【線形代数学（川久保勝夫著）】

問題8(2)

　次の行列式を計算せよ．

$$\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \\ \end{vmatrix}$$

解法

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \\ \end{pmatrix}$$

とおく．

$$\begin{aligned} A{}^t\! A &= \begin{pmatrix} a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 \\ \end{pmatrix} \\ &= (a^2+b^2+c^2+d^2)^4 \end{aligned}$$

であることに気づけば，$det(A{}^t\! A)=detA・det({}^t\! A)=detA・detA=(detA)^2$から，

$$detA = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$$