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数学の主張

P106 第4章 章末問題8(3)．

問題8(3)

　次の行列式を計算せよ．

|||||1111𝑎𝑎2𝑎3𝑎4𝑏𝑏2𝑏3𝑏4𝑐𝑐2𝑐3𝑐4|||||

解答

Section titled “解答”
|||||1111𝑎𝑎2𝑎3𝑎4𝑏𝑏2𝑏3𝑏4𝑐𝑐2𝑐3𝑐4|||||=|||||1000𝑎𝑎2−𝑎𝑎3−𝑎𝑎4−𝑎𝑏𝑏2−𝑏𝑏3−𝑏𝑏4−𝑏𝑐𝑐2−𝑐𝑐3−𝑐𝑐4−𝑐|||||=||||𝑎2−𝑎𝑎3−𝑎𝑎4−𝑎𝑏2−𝑏𝑏3−𝑏𝑏4−𝑏𝑐2−𝑐𝑐3−𝑐𝑐4−𝑐||||=𝑎𝑏𝑐||||𝑎−1𝑎2−1𝑎3−1𝑏−1𝑏2−1𝑏3−1𝑐−1𝑐2−1𝑐3−1||||=𝑎𝑏𝑐(𝑎−1)(𝑏−1)(𝑐−1)||||1𝑎+1𝑎2−𝑎+11𝑏+1𝑏2−𝑏+11𝑐+1𝑐2−𝑐+1||||
  • (1)は2行目に1行目x(-1)を加え，3行目に1行目x(-1)を加え，4行目に1行目x(-1)を加える．
  • (2)は余因子展開をした．
  • (3)は1〜3行目の共通因子をそれぞれ外出しした．
  • (4)は1〜3行目をさらに共通因子で外出しした．
||||1𝑎+1𝑎2−𝑎+11𝑏+1𝑏2−𝑏+11𝑐+1𝑐2−𝑐+1||||=||||1𝑎+1𝑎2−𝑎+10𝑏−𝑎𝑏2−𝑏−𝑎2+𝑎0𝑐−𝑎𝑐2−𝑐−𝑎2+𝑎||||=|𝑏−𝑎(𝑏−𝑎)(𝑏+𝑎−1)𝑐−𝑎(𝑐−𝑎)(𝑐+𝑎−1)|=(𝑏−𝑎)(𝑐−𝑎)|1𝑏+𝑎−11𝑐+𝑎−1|=(𝑏−𝑎)(𝑐−𝑎)|1𝑏+𝑎−10𝑐−𝑏|=(𝑏−𝑎)(𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏)
  • (5)は2行目に1行目x(-1)を加えた．3行目も同様．
  • (6)は余因子展開をした．
  • (7)は1,2列目の共通因子を外出しした．
  • (8)は2行目に1行目x(-1)を加えた．
  • (9)は余因子展開をした．

(4)と(9)を合わせて，式を整理すると，

|||||1111𝑎𝑎2𝑎3𝑎4𝑏𝑏2𝑏3𝑏4𝑐𝑐2𝑐3𝑐4|||||=𝑎𝑏𝑐(𝑎−1)(𝑏−1)(𝑐−1)(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎)