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数学の主張

P106 第4章 章末問題8(3)を解く．【線形代数学（川久保勝夫著）】

問題8(3)

　次の行列式を計算せよ．

∣1abc1a2b2c21a3b3c31a4b4c4∣\begin{vmatrix} 1 & a & b & c \\ 1 & a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & a^3 & b^3 & c^3 \\ 1 & a^4 & b^4 & c^4 \\ \end{vmatrix}

解答

Section titled “解答”
∣1abc1a2b2c21a3b3c31a4b4c4∣=∣1abc0a2−ab2−bc2−c0a3−ab3−bc3−c0a4−ab4−bc4−c∣=∣a2−ab2−bc2−ca3−ab3−bc3−ca4−ab4−bc4−c∣=abc∣a−1b−1c−1a2−1b2−1c2−1a3−1b3−1c3−1∣=abc(a−1)(b−1)(c−1)∣111a+1b+1c+1a2−a+1b2−b+1c2−c+1∣\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & a & b & c \\ 1 & a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & a^3 & b^3 & c^3 \\ 1 & a^4 & b^4 & c^4 \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & a & b & c \\ 0 & a^2-a & b^2-b & c^2-c \\ 0 & a^3-a & b^3-b & c^3-c \\ 0 & a^4-a & b^4-b & c^4-c \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a^2-a & b^2-b & c^2-c \\ a^3-a & b^3-b & c^3-c \\ a^4-a & b^4-b & c^4-c \\ \end{vmatrix} \\ &= abc \begin{vmatrix} a-1 & b-1 & c-1 \\ a^2-1 & b^2-1 & c^2-1 \\ a^3-1 & b^3-1 & c^3-1 \\ \end{vmatrix} \\ &= abc(a-1)(b-1)(c-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ a^2-a+1 & b^2-b+1 & c^2-c+1 \\ \end{vmatrix} \end{align}
  • (1)は2行目に1行目x(-1)を加え，3行目に1行目x(-1)を加え，4行目に1行目x(-1)を加える．
  • (2)は余因子展開をした．
  • (3)は1〜3行目の共通因子をそれぞれ外出しした．
  • (4)は1〜3行目をさらに共通因子で外出しした．
∣111a+1b+1c+1a2−a+1b2−b+1c2−c+1∣=∣100a+1b−ac−aa2−a+1b2−b−a2+ac2−c−a2+a∣=∣b−ac−a(b−a)(b+a−1)(c−a)(c+a−1)∣=(b−a)(c−a)∣11b+a−1c+a−1∣=(b−a)(c−a)∣10b+a−1c−b∣=(b−a)(c−a)(c−b)\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a+1 & b+1 & c+1 \\ a^2-a+1 & b^2-b+1 & c^2-c+1 \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a+1 & b-a & c-a \\ a^2-a+1 & b^2-b-a^2+a & c^2-c-a^2+a \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b+a-1) & (c-a)(c+a-1) \\ \end{vmatrix} \\ &= (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ b+a-1 & c+a-1 \\ \end{vmatrix} \\ &= (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ b+a-1 & c-b \\ \end{vmatrix} \\ &= (b-a)(c-a)(c-b) \end{align}
  • (5)は2行目に1行目x(-1)を加えた．3行目も同様．
  • (6)は余因子展開をした．
  • (7)は1,2列目の共通因子を外出しした．
  • (8)は2行目に1行目x(-1)を加えた．
  • (9)は余因子展開をした．

(4)と(9)を合わせて，式を整理すると，

∣1abc1a2b2c21a3b3c31a4b4c4∣=abc(a−1)(b−1)(c−1)(a−b)(b−c)(c−a)\begin{vmatrix} 1 & a & b & c \\ 1 & a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & a^3 & b^3 & c^3 \\ 1 & a^4 & b^4 & c^4 \\ \end{vmatrix} = abc(a-1)(b-1)(c-1)(a-b)(b-c)(c-a)