P107 第4章 章末問題9(1)．

問題9(1)

　$A, B$が$n$次正方行列のとき，次の等式を証明せよ．

$$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A + B \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A - B \end{vmatrix}$$

解答

$$\begin{align} \begin{vmatrix} A & B \\ B & A \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} A+B & B \\ A+B & A \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} A+B & B \\ O & A-B \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} A + B \end{vmatrix} \begin{vmatrix} A - B \end{vmatrix} \end{align}$$

• (1)はブロックとしての2列目をブロックとしての1列目に加える．
  • 逆にわかりづらいかもしれないがもっと詳細に説明すると， ブロックとしての2列目の中の$i$列目をブロックとしての1列目の$i$列目に加えることを$1からn$まで繰り返す．
• (2)はブロックとしての2行目にブロックとしての1行目x(-1)を加える．
• (3)は定理4.6.11を使って，行列式を等式変形した．