P107 第4章 章末問題9(2)．

問題9(2)

　$A, B$が$n$次正方行列のとき，次の等式を証明せよ．

$$\begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \\ \end{vmatrix} = |A-iB||A+iB|$$

解答

$$\begin{align} \begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} A-iB & -B \\ B+iA & A \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} A-iB & -B \\ O & A+iB \\ \end{vmatrix} \\ &= |A-iB||A+iB| \\ \end{align}$$

• (1)は$n+1$列目の複素数$i$倍を$1$列目に，$n+j$列目を$j$列目に加えた結果である．
  • $2 \le j \le n$である．
• (2)は1行目の$-i$倍を$n+1$列目に，$j$行目を$n+j$行目に加えた結果である．
• (3)は定理4.6.11を使った．