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数学の主張

P107 第4章 章末問題10(1)．

問題10(1)

　次の等式を証明せよ．

∣111⋯1122⋯2123⋯3⋮⋮⋮⋱⋮123⋯n∣=1\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ \end{vmatrix} = 1

解答

Section titled “解答”
∣111⋯1122⋯2123⋯3⋮⋮⋮⋱⋮123⋯n∣=∣111⋯1011⋯1012⋯2⋮⋮⋮⋱⋮012⋯n−1∣=∣111⋯1122⋯2123⋯3⋮⋮⋮⋱⋮123⋯n−1∣\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 \\ \end{vmatrix} \end{align}
  • (1)はii行目に1行目x(-1)を加えた．2≤i≤n2 \le i \le n．
  • (2)は1列目に関して，余因子展開をした．

　つまり

An=(111⋯1122⋯2123⋯3⋮⋮⋮⋱⋮123⋯n)A_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ \end{pmatrix}

とおけば，∣An∣=∣An−1∣=⋯=∣A1∣=1|A_n|=|A_{n-1}|= \cdots = |A_1|=1となる．