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数学の主張

P107 第4章 章末問題10(2)．

問題10(2)

　次の等式を証明せよ．

∣123⋯n−103⋯n−1−20⋯n⋮⋮⋮⋱⋮−1−2−3⋯0∣=n!\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ -1 & 0 & 3 & \cdots & n \\ -1 & -2 & 0 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -2 & -3 & \cdots & 0 \\ \end{vmatrix} = n!

解答

Section titled “解答”
∣123⋯n−103⋯n−1−20⋯n⋮⋮⋮⋱⋮−1−2−3⋯0∣=∣123⋯n026⋯2n003⋯2n⋮⋮⋮⋱⋮000⋯n∣=n!\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ -1 & 0 & 3 & \cdots & n \\ -1 & -2 & 0 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -2 & -3 & \cdots & 0 \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 0 & 2 & 6 & \cdots & 2n \\ 0 & 0 & 3 & \cdots & 2n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n \\ \end{vmatrix} \\ &= n! \end{align}
  • (1)は1行目をii行目に加えた．2≤i≤n2 \le i \le n．すると上三角行列になる．
  • (2)は上三角行列式を展開した結果である．