P107 第4章章末問題10(3)．

問題10(3)

　次の等式を証明せよ．

\begin{vmatrix} a+b & a & \cdots & a \\ a & a+b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & a+b \\ \end{vmatrix} = (na+b)b^{n-1}

　(ただし， $n$ は行列の次数)

解答

\begin{align} \begin{vmatrix} a+b & a & \cdots & a \\ a & a+b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & a+b \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} na+b & na+b & \cdots & na+b \\ a & a+b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & a+b \\ \end{vmatrix} \\ &= (na+b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a & a+b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & a+b \\ \end{vmatrix} \\ &= (na+b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b \\ \end{vmatrix} \\ &= (na+b)b^{n-1} \end{align}