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数学の主張

P107 第4章 章末問題11(1)．

問題11(1)

　次の等式を証明せよ．

||||||𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2⋮𝑎0−1𝑥0⋮00−1𝑥⋱⋯⋯⋱⋱⋱00⋮0−1𝑥||||||=𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎0

解答

Section titled “解答”
||||||𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2⋮𝑎0−1𝑥0⋮00−1𝑥⋱⋯⋯⋱⋱⋱00⋮0−1𝑥||||||=||||||𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2⋮∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖−1𝑥0⋮00−1𝑥⋱⋯⋯⋱⋱⋱00⋮0−10||||||=(−1)𝑛+2∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖|||||−1𝑥⋮00−1⋱⋯⋯⋱⋱𝑥0⋮0−1|||||=(−1)2𝑛+2∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖=𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎0
  • (1)は𝑛+1行目に1行目x𝑥𝑛を加える，2行目x𝑥𝑛−1を加える，⋯，n行目x𝑥を加える．
    • 𝑛+1行の2列目以降は0になる．
  • (2)は𝑛+1行で余因子展開をした．
  • (3)は(2)が下三角行列式であることを利用して展開した．つまり(−1)𝑛．
  • (4)は(3)を整理した．