P107 第4章 章末問題11(1)．

問題11(1)

　次の等式を証明せよ．

$$\begin{vmatrix} a_n & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-1} & x & -1 & \ddots & \vdots \\ a_{n-2} & 0 & x & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ a_0 & 0 & \cdots & 0 & x \\ \end{vmatrix} = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$

解答

$$\begin{align} \begin{vmatrix} a_n & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-1} & x & -1 & \ddots & \vdots \\ a_{n-2} & 0 & x & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ a_0 & 0 & \cdots & 0 & x \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_n & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-1} & x & -1 & \ddots & \vdots \\ a_{n-2} & 0 & x & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ \displaystyle\sum_{i=0}^n a_ix^i & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &= (-1)^{n+2}\displaystyle\sum_{i=0}^n a_ix^i \begin{vmatrix} -1 & 0 & \cdots & 0 \\ x & -1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & x & -1 \\ \end{vmatrix} \\ &= (-1)^{2n+2}\displaystyle\sum_{i=0}^n a_ix^i \\ &= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \end{align}$$

• (1)は$n+1$行目に1行目x$x^n$を加える，2行目x$x^{n-1}$を加える，$\cdots$，n行目x$x$を加える．
  • $n+1$行の2列目以降は0になる．
• (2)は$n+1$行で余因子展開をした．
• (3)は(2)が下三角行列式であることを利用して展開した．つまり$(-1)^{n}$．
• (4)は(3)を整理した．