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数学の主張

P108 第4章 章末問題11(2)．

問題11(2)

　次の等式を証明せよ．

|||||||𝑥𝑎1𝑎1⋮𝑎1𝑎1𝑎2𝑥𝑎2⋮𝑎2𝑎2𝑎3𝑎3𝑥⋮𝑎3𝑎3⋯⋯⋯⋱⋯⋯𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛⋮𝑥𝑎𝑛111⋮11|||||||=∏𝑛𝑖=1(𝑥−𝑎𝑖)

解答

Section titled “解答”
|||||||𝑥𝑎1𝑎1⋮𝑎1𝑎1𝑎2𝑥𝑎2⋮𝑎2𝑎2𝑎3𝑎3𝑥⋮𝑎3𝑎3⋯⋯⋯⋱⋯⋯𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛⋮𝑥𝑎𝑛111⋮11|||||||=|||||||𝑥−𝑎100⋮0𝑎10𝑥−𝑎20⋮0𝑎200𝑥−𝑎3⋮0𝑎3⋯⋯⋯⋱⋯⋯000⋮𝑥−𝑎𝑛𝑎𝑛000⋮01|||||||=(−1)2𝑛+2||||||𝑥−𝑎100⋮00𝑥−𝑎20⋮000𝑥−𝑎3⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮𝑥−𝑎𝑛||||||=∏𝑛𝑖=1(𝑥−𝑎𝑖)
  • (1)は1行目にn+1行目x(-1)を加える．𝑖行目にn+1x(-1)を加える．2≤𝑖≤𝑛．
  • (2)は𝑛+1列目で余因子展開をした．
  • (3)は対角行列式を展開し，整理した．