コンテンツにスキップ
数学の主張

P108 第4章 章末問題11(3)．

問題11(3)

　次の等式を証明せよ．

∣111⋯1b1a1a1⋯a1b2b2a2⋯a2⋮⋮⋱⋱⋮bn−1bn−1⋯bn−1an−1∣=∏i=1n−1(ai−bi)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\ b_2 & b_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ b_{n-1} & b_{n-1} & \cdots & b_{n-1} & a_{n-1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^{n-1}(a_i-b_i)

解答

Section titled “解答”
∣111⋯1b1a1a1⋯a1b2b2a2⋯a2⋮⋮⋱⋱⋮bn−1bn−1⋯bn−1an−1∣=∣100⋯0b1a1−b10⋯0b20a2−b2⋯0⋮⋮⋱⋱⋮bn−10⋯an−1−bn−1∣=∏i=1n−1(ai−bi)\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\ b_2 & b_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ b_{n-1} & b_{n-1} & \cdots & b_{n-1} & a_{n-1} \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ b_1 & a_1-b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_2 & 0 & a_2-b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ b_{n-1} & 0 & \cdots & & a_{n-1}-b_{n-1} \\ \end{vmatrix} \\ &= \prod_{i=1}^{n-1}(a_i-b_i) \end{align}
  • (1)はnn列目にn−1n-1列目x(-1)を加える．n−1n-1列目にn−2n-2列目x(-1)を加える．⋯\cdots，2列目に1列目x(-1)を加える．
  • (2)は下三角行列式を展開した．