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数学の主張

P108 第4章 章末問題11(4)．

問題11(4)

　次の等式を証明せよ．

∣1nn⋯nn2n⋯nnn3⋯n⋮⋮⋮⋱⋮nnn⋯n∣=(−1)n−1n!\begin{vmatrix} 1 & n & n & \cdots & n \\ n & 2 & n & \cdots & n \\ n & n & 3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \cdots & n \\ \end{vmatrix} = (-1)^{n-1}n!

解答

Section titled “解答”
∣1nn⋯nn2n⋯nnn3⋯n⋮⋮⋮⋱⋮nnn⋯n∣=∣1−n00⋯002−n0⋯0003−n⋯0⋮⋮⋮⋱⋮nnn⋯n∣=(1−n)(2−n)⋯(i−n)⋯{(n−1)−n}n=(−1)n−1n!\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & n & n & \cdots & n \\ n & 2 & n & \cdots & n \\ n & n & 3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \cdots & n \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1-n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2-n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 3-n & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \cdots & n \\ \end{vmatrix} \\ &= (1-n)(2-n)\cdots(i-n)\cdots\{(n-1)-n\}n \\ &= (-1)^{n-1}n! \end{align}
  • (1)はii行目にnn行目x(-1)を加える．1≤i≤n−11 \le i \le n-1．
  • (2)は下三角行列式を展開した．
  • (3)は(2)を整理した．