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数学の主張

P108 第4章 章末問題11(5)．

問題11(5)

　次の等式を証明せよ．

∣1+x2x0⋯0x1+x2x⋱⋮0x⋱⋱0⋮⋱⋱1+x2x0⋯0x1+x2∣=1+x2+x4+⋯+x2n\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & \cdots & 0 \\ x & 1+x^2 & x & \ddots & \vdots \\ 0 & x & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1+x^2 & x \\ 0 & \cdots & 0 & x & 1+x^2 \\ \end{vmatrix} = 1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}

解答

Section titled “解答”

　帰納法を用いる．

An=∣1+x2x0⋯0x1+x2x⋱⋮0x⋱⋱0⋮⋱⋱1+x2x0⋯0x1+x2∣A_n = \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & \cdots & 0 \\ x & 1+x^2 & x & \ddots & \vdots \\ 0 & x & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1+x^2 & x \\ 0 & \cdots & 0 & x & 1+x^2 \\ \end{vmatrix}

とおく．A1=1+x2A_1=1+x^2，

A2=∣1+x2xx1+x2∣=(1+x2)(1+x2)−x2=1+x2+x4\begin{aligned} A_2 &= \begin{vmatrix} 1+x^2 & x \\ x & 1+x^2 \\ \end{vmatrix} \\ &=(1+x^2)(1+x^2) - x^2 \\ &=1+x^2+x^4 \end{aligned}

であり，

A3=∣1+x2x0x1+x2x0x1+x2∣=(1+x2)A2−x∣x0x1+x2∣=(1+x2)A2−x2A1=1+x2+x4+x6\begin{aligned} A_3 &= \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 \\ x & 1+x^2 & x \\ 0 & x & 1+x^2 \\ \end{vmatrix} \\ &= (1+x^2)A_2-x \begin{vmatrix} x & 0 \\ x & 1+x^2 \\ \end{vmatrix} \\ &= (1+x^2)A_2-x^2A_1 \\ &= 1+x^2+x^4+x^6 \end{aligned}

である．

　つまり，An−1A_{n-1}まで題意が成り立つと仮定すると，

An=(1+x2)An−1−x2An−2=(1+x2)(1+x2+x4+⋯+x2(n−1))−x2(1+x2+x4+⋯+x2(n−2))=1+x2+x4+⋯+x2n．\begin{aligned} A_n &= (1+x^2)A_{n-1} - x^2A_{n-2} \\ &= (1+x^2)(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2(n-1)})-x^2(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2(n-2)}) \\ &= 1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}． \end{aligned}

以上により，帰納法から題意が示せた．