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数学の主張

P26 問107 (第1章 数)

問107

　(a) 𝑥をその2乗が2よりも小さい有理数とするならば，𝑥+(2−𝑥2)/10は𝑥より大きいことを示せ．

　(b) 𝑥をその2乗が2より大きい有理数として，𝑥より小さくて2乗が2より大きい有理数を，𝑥を使って求めよ．

　(a)は(b)を解くための問題だと思ったら違った．罠．

(a)の解答

Section titled “(a)の解答”

　題意を数式を使った命題に直すと，𝑥2<2,𝑥∈ℚならば，𝑥<𝑥+2−𝑥210であることを示せということ．

(𝑥+2−𝑥210)−𝑥=2−𝑥210>0なので，𝑥<𝑥+2−𝑥210．

(b)の解答

Section titled “(b)の解答”

　答えは(a)の𝑥+2−𝑥210ではないか！？と考え，証明を試みたが違うことがわかった． （(a)の意味は何なのかと落胆した．）

　題意を書き直す．𝑥2>2,𝑥∈ℚのとき，𝑦<𝑥,𝑦2>2,𝑦∈ℚなる𝑦を𝑥を使って求めよということ．

　𝑥>√2のとき，𝑦=𝑥2+22𝑥を考える．

𝑥−𝑦=𝑥−𝑥2+22𝑥=2𝑥2−𝑥2−22𝑥=𝑥2−22𝑥>0．

したがって，𝑦<𝑥．また，

𝑦2−2=(𝑥2+22𝑥)2−2=(計算して)=(𝑥2−22𝑥)2>0．

したがって，𝑦2>2．

　𝑥<−√2のとき，𝑦=𝑥−1とおく．明らかに𝑦<𝑥である．

2−𝑦2=2−(𝑥−1)2=(計算して)=−(𝑥−1)2+2<0．

したがって，𝑦2>2．

　以上をまとめると，

𝑦={𝑥2+22𝑥𝑥>√2𝑥−1𝑥<−√2

コメント

Section titled “コメント”

　(b)は自力で解けなかった．Geminiに問題を与えて解いてもらった． 𝑥2+22𝑥や𝑥−1のアイデアはGeminiが考えて出てきたものだ． 𝑥−𝑦の計算で，𝑥2>2を使うには𝑥2+22𝑥なのだと思う．