P69 問39 (第3章 数列)

問39

ならば を証明せよ．逆は真であるか．

証明の方針

　 を示せばよいので，定義のとおりに示す．逆は真かどうかも定義とおりにやる．

解答

　 を示す．

　仮定より，任意の正の数 に対し，ある自然数 が存在し，

となる．

　 なので， ということになる．これは そのままである．よって示せた．

逆は真か

逆

ならば ．

　真である．

　 を示す．三角不等式()より， である．書くほどではないが から，．仮定より， なので，合わせると となる．（面倒なので，定義から書き下していない．）したがって，逆は真である．

まとめ

• ならば は真．
• ならば も真．