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数学の主張

P71 問62 (第3章 数列)

問62

　lim𝑛→∞|𝑢𝑛+1𝑢𝑛|=|𝑎|<1 ならば lim𝑛→∞𝑢𝑛=0 であることを証明せよ．

　𝑢𝑛 とその前後の値が |𝑎|<1 の間隔に収まっていくなら，数列𝑢𝑛 は0 に収まっていく．

証明の方針

Section titled “証明の方針”
  • はさみうちの原理を使って lim𝑛→∞|𝑢𝑛|=0 を導き、問39から lim𝑛→∞𝑢𝑛=0 が示せる．
  • はさみうちの原理で使う不等式は，lim𝑛→∞|𝑢𝑛+1𝑢𝑛|=|𝑎|<1 という条件から導く．
    • 十分大きな 𝑛 に対して |𝑢𝑛+1𝑢𝑛| が1より小さい定数 𝑟 で上から抑えられることを示す．

解答

Section titled “解答”

　はさみうちの原理を使って lim𝑛→∞|𝑢𝑛|=0 示す．

　仮定より，任意の正の数 𝜀 において，ある正の数 𝛿(𝜀) が存在し，

𝑛>𝛿(𝜀)⇒||𝑢𝑛+1𝑢𝑛|−|𝑎||<𝜀

が成り立つ．絶対値を外すことで，

|𝑢𝑛+1𝑢𝑛|−|𝑎|<𝜀⇔|𝑢𝑛+1𝑢𝑛|<|𝑎|+𝜀

となる．ここで |𝑎|<1 なので，|𝑎|+𝜀𝑜<1 となる 𝜀𝑜 を選べる(イプシロンデルタ論法はそういうことであるから．)．そのとき，𝑁𝑜=𝛿(𝜀𝑜) とおくと，

𝑛>𝑁𝑜⇒|𝑢𝑛+1𝑢𝑛|<|𝑎|+𝜀𝑜(<1)

となる．つまり，

𝑛>𝑁𝑜⇒|𝑢𝑛+1|<(|𝑎|+𝜀𝑜)|𝑢𝑛|

である．𝑛>𝑁𝑜 で成り立つので，

|𝑢𝑛+1|<(|𝑎|+𝜀𝑜)𝑛−𝑁𝑜+1|𝑢𝑁𝑜|

となる．

　|𝑎|+𝜀𝑜<1 なので，lim𝑛→∞(|𝑎|+𝜀𝑜)𝑛−𝑁𝑜+1|𝑢𝑁𝑜|=0．0<|𝑢𝑛+1| でもあるので，はさみうちの原理から lim𝑛→∞|𝑢𝑛|=0 が得られる．

　したがって，問39からlim𝑛→∞𝑢𝑛=0 となる．