問67
数列 ， は，極限が である単調減少数列であることを証明せよ．
ヒント： を示せ．
ヒントの通り を示すことで， が単調減少数列であることがわかれば， で有界だから，は収束し， を使って，極限がわかる．難しいのは， を示すことである．
によって が単調減少数列であることを示し， の有界性から が収束することがわかり， から極限を求める．
を示したい．これはすなわち， を示したいということである．
この不等式を変形していく．
この変形によって， を示したいということになった．
ここで， を考える．二項定理を応用すると以下の不等式が成り立つ．
(等号はのときである．)
この不等式を合わせて考えると，
を示したいということになる．そうすれば， を示せるからだ．
を考える．これは であることが示せればよい．
よって， である．したがって，始めに示したかった ，つまり， を示した．
極限が であることを示す．これは，以下のように求められる．