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数学の主張

P72 問68 (第3章 数列)

問68

すべての𝑛≥𝑁に対して，𝑎𝑛≥𝑏𝑛かつlim𝑛→∞𝑎𝑛=𝐴,lim𝑛→∞𝑏𝑛=𝐵ならば，𝐴≥𝐵を証明せよ．

証明の方針

Section titled “証明の方針”

　𝐴−𝐵≥0 を示し，𝐴≥𝐵 であると証明します．

解答

Section titled “解答”

　𝐴−𝐵≥0 であることを示し，それはつまり，𝐴≥𝐵 であることを示す．

　仮定より，𝑎𝑛,𝑏𝑛 は収束するから，𝑎𝑛−𝑏𝑛 も収束する．仮定から，𝑛≥𝑁 において，𝑎𝑛−𝑏𝑛≥0 だから，lim𝑛→∞(𝑎𝑛−𝑏𝑛)≥0．すると 𝑎𝑛,𝑏𝑛 は収束するから，極限の加法と合わせて，

lim𝑛→∞(𝑎𝑛−𝑏𝑛)=lim𝑛→∞𝑎𝑛−lim𝑛→∞𝑏𝑛=𝐴−𝐵≥0.

　よって，𝐴−𝐵≥0．したがって，𝐴≥𝐵．