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数学の主張

P72 問69 (第3章 数列)

問69

|𝑢𝑛|≤|𝑣𝑛|かつlim𝑛→∞𝑣𝑛=0 ならば，lim𝑛→∞𝑢𝑛=0であることを証明せよ．

証明の方針

Section titled “証明の方針”

　収束の定義さえわかっていれば，普通に解くことはできると思います．また，絶対値 |𝑢𝑛| を外せば，はさみうちの原理から解くことも可能です．

解答

Section titled “解答”

　はさみうちの原理を使って示します．

　まず，問の仮定から −|𝑣𝑛|≤𝑢𝑛≤|𝑣𝑛| となります．よって，lim𝑛→∞|𝑣𝑛|=0 であればよいです．

　lim𝑛→∞𝑣𝑛=0 から lim𝑛→∞|𝑣𝑛|=0 は示せます．

||𝑣𝑛|−0|=||𝑣𝑛||=|𝑣𝑛|=|𝑣𝑛−0|<𝜀

だからです（簡単にですが，示せました）．

　極限の加法から，lim𝑛→∞−|𝑣𝑛|=lim𝑛→∞(−1)∗lim𝑛→∞|𝑣𝑛|=−1∗0=0．したがって，はさみうちの原理より，lim𝑛→∞𝑢𝑛=0．