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数学の主張

P72 問71 (第3章 数列)

問72

　𝑎𝑛=(1+1𝑛)𝑛 ， 𝑏𝑛=(1+1𝑛)𝑛+1 で，[𝑎𝑛,𝑏𝑛]は数𝑒を定義する縮小区間の集合であることを証明せよ．

証明の方針

Section titled “証明の方針”

　本問題は数列 [𝑎𝑛,𝑏𝑛] が自然対数の底 𝑒 を含む縮小区間の集合であることを証明したいので，縮小区間の定義を確認すれば，おのずと何をすればよいか明らかになります．

縮小区間

　それぞれの区間がその前の区間に含まれ，そして，lim𝑛→∞(𝑎𝑛−𝑏𝑛)=0であるような区間[𝑎𝑛,𝑏𝑛],𝑛=1,2,3,…を縮小区間という．

　これだけでは何を示せばよいか見えづらいので，具体的に表現します．すなわち，以下の条件を満たすことを示せばよいです．

  1. 各 𝑛≥1 に対して、𝑎𝑛<𝑏𝑛 である．
  2. 数列 𝑎𝑛 は単調増加である（𝑎𝑛<𝑎𝑛+1）．
  3. 数列 𝑏𝑛 は単調減少である（𝑏𝑛>𝑏𝑛+1）．
  4. 区間の長さが 0 に収束する（lim𝑛→∞(𝑏𝑛−𝑎𝑛)=0）．

　数𝑒については𝑎𝑛,𝑏𝑛の極限の話になります．区間の長さが0に収束することから，log(𝑎𝑛)の極限を計算すればよいと見通しが立ちます．

　したがって，大きな方針として縮小区間を示し，その後に数𝑒であることを示します．

解答

Section titled “解答”

　（式変形も記述したので，解答が少し長くなっています．）

　[𝑎𝑛,𝑏𝑛]が縮小区間の集合であることを示し，その後数𝑒を定義するものであることを示す．

  1. 各 𝑛≥1 に対して、𝑎𝑛<𝑏𝑛 である .

    　各𝑛≥1に対し，𝑏𝑛−𝑎𝑛>0であることを示せばよい．𝑏𝑛−𝑎𝑛=(1+1𝑛)𝑛1𝑛で𝑛≥1だから，𝑏𝑛−𝑎𝑛>0である． 極限でもない限り，等号は成立しない．

  2. 数列 𝑎𝑛 は単調増加である.

    　数列 𝑎𝑛=(1+1𝑛)𝑛 が単調増加である、すなわち 𝑎𝑛<𝑎𝑛+1 であることを示します。 これには，一般化された相加相乗平均の不等式を利用します。

    一般化された相加相乗平均の不等式

    　𝑁 個の非負の実数 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑁 が与えられたとき、それらの相加平均 (Arithmetic Mean, AM) は相乗平均 (Geometric Mean, GM) 以上である。 すなわち、

    𝑥1+𝑥2+…+𝑥𝑁𝑁≥𝑁√𝑥1𝑥2…𝑥𝑁

    等号が成立するのは、𝑥1=𝑥2=…=𝑥𝑁 のときに限る。

    　𝑛+1 個の正の数1,(1+1𝑛),(1+1𝑛),…,(1+1𝑛)について考えます。これらの相加平均𝐴𝑀は

    𝐴𝑀=1+𝑛(1+1𝑛)𝑛+1=1+𝑛+1𝑛+1=𝑛+2𝑛+1=(1+1𝑛+1)=𝑛+1√𝑎𝑛+1

    相乗平均𝐺𝑀は

    𝐺𝑀=𝑛+1√1∗(1+1𝑛)𝑛=𝑛+1√𝑎𝑛

    相加相乗平均の不等式により，𝐴𝑀>𝐺𝑀である，すなわち

    𝑛+1√𝑎𝑛+1>𝑛+1√𝑎𝑛.

    ここで，𝑛>1なので1≠1+1𝑛であるため，等号は成立しない．両辺𝑛+1乗すれば， 𝑎𝑛+1>𝑎𝑛となり，数列𝑎𝑛が単調増加であることが示せました．

  3. 数列 𝑏𝑛 は単調減少である.

    　数列 𝑏𝑛=(1+1𝑛)𝑛+1 が単調減少である、すなわち 𝑏𝑛>𝑏𝑛+1 であることを示したい．だが，これを直接示すのは複雑なので，代わりに 𝑏𝑛𝑏𝑛+1>1 を証明します．このとき，二項定理を使った不等式 (1+𝑥)𝑛>1+𝑛𝑥 を使います．

    𝑏𝑛𝑏𝑛+1=(1+1𝑛)𝑛+1(1+1𝑛+1)𝑛+2=((𝑛+1)𝑛+1𝑛𝑛+1)((𝑛+1)𝑛+2(𝑛+2)𝑛+2)=(𝑛+1)2𝑛+3𝑛𝑛+1(𝑛+2)𝑛+2=(𝑛+1)𝑛+1(𝑛+1)𝑛+2𝑛𝑛+1(𝑛+2)𝑛+1(𝑛+2)=((𝑛+1)𝑛+1𝑛𝑛+1)((𝑛+1)𝑛+1(𝑛+2)𝑛+1)(𝑛+1𝑛+2)=(𝑛+1𝑛)𝑛+1(𝑛+1𝑛+2)𝑛+1(𝑛+1𝑛+2)=((𝑛+1)2𝑛(𝑛+2))𝑛+1(𝑛+1𝑛+2)

    ここで、式の中の (𝑛+1)2𝑛(𝑛+2) の部分に注目します。

    (𝑛+1)2𝑛(𝑛+2)=𝑛2+2𝑛+1𝑛2+2𝑛=1+1𝑛2+2𝑛

    なので，これを元の式に代入すると

    𝑏𝑛𝑏𝑛+1=(1+1𝑛2+2𝑛)𝑛+1(𝑛+1𝑛+2).

    二項定理を使った不等式でこれを評価する.

    (1+1𝑛2+2𝑛)𝑛+1>1+(𝑛+1)(1𝑛2+2𝑛)=1+𝑛+1𝑛(𝑛+2)

    だから，

    𝑏𝑛𝑏𝑛+1>(1+𝑛+1𝑛(𝑛+2))(𝑛+1𝑛+2)=(𝑛(𝑛+2)+(𝑛+1)𝑛(𝑛+2))(𝑛+1𝑛+2)=(𝑛2+2𝑛+𝑛+1𝑛2+2𝑛)(𝑛+1𝑛+2)=(𝑛2+3𝑛+1𝑛2+2𝑛)(𝑛+1𝑛+2)

    分子: (𝑛2+3𝑛+1)(𝑛+1)=𝑛3+𝑛2+3𝑛2+3𝑛+𝑛+1=𝑛3+4𝑛2+4𝑛+1
    分母: (𝑛2+2𝑛)(𝑛+2)=𝑛3+2𝑛2+2𝑛2+4𝑛=𝑛3+4𝑛2+4𝑛.

    よって分子＞分母だから，

    𝑏𝑛𝑏𝑛+1>𝑛3+4𝑛2+4𝑛+1𝑛3+4𝑛2+4𝑛>1

    したがって，𝑏𝑛𝑏𝑛+1>1 が示され，数列 𝑏𝑛 は単調減少であることが証明されました。

  4. 区間の長さが 0 に収束する．

    　lim𝑛→∞𝑏𝑛=lim𝑛→∞(1+1𝑛)𝑛+1=lim𝑛→∞(1+1𝑛)𝑛(1+1𝑛)=𝑒∗1=𝑒 である．したがって，lim𝑛→∞(𝑏𝑛−𝑎𝑛)=lim𝑛→∞𝑏𝑛−lim𝑛→∞𝑎𝑛=𝑒−𝑒=0．区間の長さが 0 に収束しました．

  5. 数 𝑒 を定義する縮小区間の集合であること．

    　縮小区間に対してただ1つの実数が対応し，その実数は lim𝑛→∞𝑎𝑛(=lim𝑛→∞𝑏𝑛)=𝑒 なので，結論を示すことができました．