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数学の主張

三元数を構成する．

　高校数学の複素数を勉強しているとき，複素数って２つの実数の組と捉えれば可視だよねと気づき，その発展形として３つの実数の組はどうなるのか考え始めた．これがきっかけで このページの三元数は誕生した．

　しかし鵜呑みにしてはいけない．一般的に三元数は存在しない．

前提

Section titled “前提”

　この三元数ページは自分が考えた結果を残すべく誕生したものである．

四元数，八元数との違いについて

Section titled “四元数，八元数との違いについて”

　四元数，八元数はある．それらとこの三元数はどう違うのかを表で示す．

加法減法乗法交換法則結合法則分配法則
加法乗法加法乗法左右
四元数
八元数
三元数

四元数，八元数と三元数の違い.

三元数を構成する．

Section titled “三元数を構成する．”

　三元数の元を3つの実数の組(𝑎,𝑏,𝑐)とする．(𝑎′,𝑏′,𝑐′)も同様．

加法 　要素毎に足し算する．

(𝑎,𝑏,𝑐)+(𝑎′,𝑏′,𝑐′)=(𝑎+𝑎′,𝑏+𝑏′,𝑐+𝑐′)

減法 　要素毎に引き算する．

(𝑎,𝑏,𝑐)−(𝑎′,𝑏′,𝑐′)=(𝑎−𝑎′,𝑏−𝑏′,𝑐−𝑐′)

乗法

(𝑎,𝑏,𝑐)⋅(𝑎′,𝑏′,𝑐′)=(𝑎𝑎′−𝑏𝑏′−𝑐𝑐′,𝑎𝑏′+𝑏𝑎′+𝑐𝑏′,𝑎𝑐′+𝑏𝑐′+𝑐𝑎′)

スカラー倍 　𝑘∈ℝとする．

𝑘(𝑎,𝑏,𝑐)=(𝑘𝑎,𝑘𝑏,𝑘𝑐)

三元数

Section titled “三元数”

　以上までの加法・減法・乗法・スカラー倍から数を構成する．

三元数

　1=(1,0,0)，𝑖=(0,1,0)， 𝑗=(0,0,1)とおくと，

(𝑎,𝑏,𝑐)=(𝑎,0,0)+(0,𝑏,0)+(0,0,𝑐)=𝑎(1,0,0)+𝑏(0,1,0)+𝑐(0,0,1)=𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗

加法

(𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗)+(𝑎′+𝑏′𝑖+𝑐′𝑗)=(𝑎+𝑎′)+(𝑏+𝑏′)𝑖+(𝑐+𝑐′)𝑗

減法

(𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗)−(𝑎′+𝑏′𝑖+𝑐′𝑗)=(𝑎−𝑎′)+(𝑏−𝑏′)𝑖+(𝑐−𝑐′)𝑗

乗法

　𝑖2=𝑗2=−1，𝑖𝑗=𝑗，𝑗𝑖=𝑖，𝑎𝑖=𝑖𝑎，𝑎𝑗=𝑗𝑎，𝑎∈ℝにより定義する．

(𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗)(𝑎′+𝑏′𝑖+𝑐′𝑗)=(𝑎𝑎′−𝑏𝑏′−𝑐𝑐′)+(𝑎𝑏′+𝑏𝑎′+𝑐𝑏′)𝑖+(𝑎𝑐′+𝑏𝑐′+𝑐𝑎′)𝑗

交換法則

Section titled “交換法則”

　𝑥=𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗，𝑦=𝑎′+𝑏′𝑖+𝑐′𝑗とする．

加法

𝑥+𝑦=(𝑎+𝑎′)+(𝑏+𝑏′)𝑖+(𝑐+𝑐′)𝑗=(𝑎′+𝑎)+(𝑏′+𝑏)𝑖+(𝑐′+𝑐)𝑗=𝑦+𝑥

乗法

　𝑐=1+𝑖，𝑑=1+𝑗とすると，

𝑐𝑑=(1+𝑖)(1+𝑗)=1+𝑗+𝑖+𝑖𝑗=1+𝑖+2𝑗𝑑𝑐=(1+𝑗)(1+𝑖)=1+𝑖+𝑗+𝑗𝑖=1+2𝑖+𝑗

よって，𝑐𝑑≠𝑑𝑐．交換法則の乗法は成り立たない．

結合法則

Section titled “結合法則”

加法

　𝑥=𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗，𝑦=𝑎′+𝑏′𝑖+𝑐′𝑗，𝑧=𝑎″+𝑏″𝑖+𝑐″𝑗とおくと，

(𝑥+𝑦)+𝑧=(𝑎+𝑎′)+(𝑏+𝑏′)𝑖+(𝑐+𝑐′)𝑗+𝑎″+𝑏″𝑖+𝑐″𝑗=(𝑎+𝑎′+𝑎″)+(𝑏+𝑏′+𝑏″)𝑖+(𝑐+𝑐′+𝑐″)𝑗=𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗+(𝑎′+𝑎″)+(𝑏′+𝑏″)𝑖+(𝑐′+𝑐″)𝑗=𝑥+(𝑦+𝑧)

乗法

　𝑥=1+𝑖，𝑦=1+𝑗，𝑧=𝑖+𝑗とおくと，

(𝑥𝑦)𝑧=(1+𝑖+2𝑗)(𝑖+𝑗)=−3+3𝑖+2𝑗𝑥(𝑦𝑧)=(1+𝑖)(−1+2𝑖+𝑗)=−3+𝑖+2𝑗

よって，(𝑥𝑦)𝑧≠𝑥(𝑦𝑧)．したがって，結合法則の乗法は成り立たない．

分配法則

Section titled “分配法則”

左分配法則　　𝑥(𝑦+𝑧)≠𝑥𝑦+𝑥𝑧

　𝑥=1+𝑖，𝑦=1+𝑗，𝑧=𝑖+𝑗とおくと，

𝑥(𝑦+𝑧)=(1+𝑖)(1+𝑖+2𝑗)=2𝑖+2𝑗𝑥𝑦+𝑦𝑧=1+𝑖+2𝑗−1+2𝑖+𝑗=3𝑖+3𝑗

　よって，𝑥(𝑦+𝑧)≠𝑥𝑦+𝑦𝑧．したがって，分配法則は成り立たない．

右分配法則　　(𝑥+𝑦)𝑧=𝑥𝑧+𝑦𝑧

　この三元数は右分配法則が成り立つように作った．

𝑥𝑧=(𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗)(𝑎″+𝑏″𝑖+𝑐″𝑗)=(𝑎𝑎″−𝑏𝑏″−𝑐𝑐″)+(𝑎𝑏″+𝑏𝑎″+𝑐𝑏″)𝑖+(𝑎𝑐″+𝑏𝑐″+𝑐𝑎″)𝑗𝑦𝑧=(𝑎′+𝑏′𝑖+𝑐′𝑗)(𝑎″+𝑏″𝑖+𝑐″𝑗)=(𝑎′𝑎″−𝑏′𝑏″−𝑐′𝑐″)+(𝑎′𝑏″+𝑏′𝑎″+𝑐′𝑏″)𝑖+(𝑎′𝑐″+𝑏′𝑐″+𝑐′𝑎″)𝑗𝑥𝑧+𝑦𝑧={(𝑎+𝑎′)𝑎″−(𝑏+𝑏′)𝑏″−(𝑐+𝑐′)𝑐″}+{(𝑎+𝑎′)𝑏″+(𝑏+𝑏′)𝑎″+(𝑐+𝑐′)𝑏″}𝑖+{(𝑎+𝑎′)𝑐″+(𝑏+𝑏′)𝑐″+(𝑐+𝑐′)𝑎″}𝑗(𝑥+𝑦)𝑧={(𝑎+𝑎′)+(𝑏+𝑏′)𝑖+(𝑐+𝑐′)𝑗}(𝑎″+𝑏″𝑖+𝑐″𝑗)={(𝑎+𝑎′)𝑎″−(𝑏+𝑏′)𝑏″−(𝑐+𝑐′)𝑐″}+{(𝑎+𝑎′)𝑏″+(𝑏+𝑏′)𝑎″+(𝑐+𝑐′)𝑏″}𝑖+{(𝑎+𝑎′)𝑐″+(𝑏+𝑏′)𝑐″+(𝑐+𝑐′)𝑎″}𝑗

よって，(𝑥+𝑦)𝑧=𝑥𝑧+𝑦𝑧．したがって，右分配法則は成立する．

三元数のアイデア

Section titled “三元数のアイデア”

　iを掛けるとxy平面を𝜋2回転する，jを掛けるとxz平面を𝜋2回転する． つまり，三次元のxyz平面で言えば，三元数𝑥に対し𝑖𝑥は𝑥をxy平面を𝜋2回転させた点に移動する． 𝑗𝑥はxz平面を𝜋2回転させた点に移動する．

最終更新日: