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数学の主張

三元数を構成する．

　高校数学の複素数を勉強しているとき，複素数って２つの実数の組と捉えれば可視だよねと気づき，その発展形として３つの実数の組はどうなるのか考え始めた．これがきっかけで このページの三元数は誕生した．

　しかし鵜呑みにしてはいけない．一般的に三元数は存在しない．

前提

　この三元数ページは自分が考えた結果を残すべく誕生したものである．

四元数，八元数との違いについて

　四元数，八元数はある．それらとこの三元数はどう違うのかを表で示す．

加法減法乗法交換法則結合法則分配法則
加法乗法加法乗法左右
四元数
八元数
三元数

四元数，八元数と三元数の違い.

三元数を構成する．

　三元数の元を3つの実数の組(a,b,c)(a, b, c)とする．(a′,b′,c′)(a',b',c')も同様．

加法 　要素毎に足し算する．

(a,b,c)+(a′,b′,c′)=(a+a′,b+b′,c+c′)(a, b, c) + (a', b', c') = ( a + a', b + b', c + c')

減法 　要素毎に引き算する．

(a,b,c)−(a′,b′,c′)=(a−a′,b−b′,c−c′)(a, b, c) - (a', b', c') = ( a - a', b - b', c - c')

乗法

(a,b,c)⋅(a′,b′,c′)=(aa′−bb′−cc′,ab′+ba′+cb′,ac′+bc′+ca′)(a, b, c) \cdot (a', b', c') = (aa'-bb'-cc', ab'+ba'+cb', ac'+bc'+ca')

スカラー倍 　k∈Rk \in \mathbb{R} とする．

k(a,b,c)=(ka,kb,kc)k ( a, b, c ) = (ka, kb, kc)

三元数

　以上までの加法・減法・乗法・スカラー倍から数を構成する．

三元数

　1=(1,0,0)1 = (1,0,0)，i=(0,1,0)i = (0,1,0)， j=(0,0,1)j = (0,0,1)とおくと，

(a,b,c)=(a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=a+bi+cj\begin{equation*} \begin{split} (a,b,c) &= (a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c) \\ &= a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) \\ &= a + bi + cj \end{split} \end{equation*}

加法

(a+bi+cj)+(a′+b′i+c′j)=(a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j(a+bi+cj) + (a'+b'i+c'j) = (a+a')+(b+b')i+(c+c')j

減法

(a+bi+cj)−(a′+b′i+c′j)=(a−a′)+(b−b′)i+(c−c′)j(a+bi+cj) - (a'+b'i+c'j) = (a-a')+(b-b')i+(c-c')j

乗法

　i2=j2=−1i^2 = j^2 = -1，ij=jij = j，ji=iji = i，ai=iaai = ia，aj=jaaj = ja，a∈Ra \in \mathbb{R}により定義する．

(a+bi+cj)(a′+b′i+c′j)=(aa′−bb′−cc′)+(ab′+ba′+cb′)i+(ac′+bc′+ca′)j\begin{equation*} \begin{split} (a+bi+cj)(a'+b'i+c'j) = (aa'-bb'-cc') + (ab'+ba'+cb')i + (ac'+bc'+ca')j \end{split} \end{equation*}

交換法則

　x=a+bi+cjx = a+bi+cj，y=a′+b′i+c′jy = a'+b'i+c'jとする．

加法

x+y=(a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j=(a′+a)+(b′+b)i+(c′+c)j=y+x\begin{equation*} \begin{split} x + y &= (a+a') + (b+b')i + (c+c')j \\ &= (a'+a) + (b'+b)i + (c'+c)j \\ &= y + x \end{split} \end{equation*}

乗法

　c=1+ic = 1+i，d=1+jd = 1+jとすると，

cd=(1+i)(1+j)=1+j+i+ij=1+i+2jdc=(1+j)(1+i)=1+i+j+ji=1+2i+j\begin{equation*} \begin{split} cd &= (1+i)(1+j) = 1 + j + i + ij = 1 + i + 2j \\ dc &= (1+j)(1+i) = 1 + i + j + ji = 1 + 2i + j \end{split} \end{equation*}

よって，cd≠dccd \neq dc．交換法則の乗法は成り立たない．

結合法則

加法

　x=a+bi+cjx=a+bi+cj，y=a′+b′i+c′jy=a'+b'i+c'j，z=a′′+b′′i+c′′jz=a''+b''i+c''jとおくと，

(x+y)+z=(a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j+a′′+b′′i+c′′j=(a+a′+a′′)+(b+b′+b′′)i+(c+c′+c′′)j=a+bi+cj+(a′+a′′)+(b′+b′′)i+(c′+c′′)j=x+(y+z)\begin{equation*} \begin{split} (x+y)+z &= (a+a')+(b+b')i+(c+c')j+a''+b''i+c''j \\ &= (a+a'+a'')+(b+b'+b'')i+(c+c'+c'')j \\ &= a+bi+cj+(a'+a'')+(b'+b'')i+(c'+c'')j \\ &= x+(y+z) \end{split} \end{equation*}

乗法

　x=1+ix=1+i，y=1+jy=1+j，z=i+jz=i+jとおくと，

(xy)z=(1+i+2j)(i+j)=−3+3i+2jx(yz)=(1+i)(−1+2i+j)=−3+i+2j\begin{equation*} \begin{split} (xy)z &= (1+i+2j)(i+j) = -3+3i+2j \\ x(yz) &= (1+i)(-1+2i+j) = -3+i+2j \end{split} \end{equation*}

よって，(xy)z≠x(yz)(xy)z \neq x(yz)．したがって，結合法則の乗法は成り立たない．

分配法則

左分配法則　　x(y+z)≠xy+xzx(y+z) \neq xy + xz

　x=1+ix=1+i，y=1+jy=1+j，z=i+jz=i+jとおくと，

x(y+z)=(1+i)(1+i+2j)=2i+2jxy+yz=1+i+2j−1+2i+j=3i+3j\begin{equation*} \begin{split} x(y+z) &= (1+i)(1+i+2j) = 2i+2j \\ xy+yz &= 1+i+2j-1+2i+j = 3i+3j \end{split} \end{equation*}

　よって，x(y+z)≠xy+yzx(y+z) \neq xy+yz．したがって，分配法則は成り立たない．

右分配法則　　(x+y)z=xz+yz(x+y)z = xz + yz

　この三元数は右分配法則が成り立つように作った．

xz=(a+bi+cj)(a′′+b′′i+c′′j)=(aa′′−bb′′−cc′′)+(ab′′+ba′′+cb′′)i+(ac′′+bc′′+ca′′)jyz=(a′+b′i+c′j)(a′′+b′′i+c′′j)=(a′a′′−b′b′′−c′c′′)+(a′b′′+b′a′′+c′b′′)i+(a′c′′+b′c′′+c′a′′)jxz+yz={(a+a′)a′′−(b+b′)b′′−(c+c′)c′′}+{(a+a′)b′′+(b+b′)a′′+(c+c′)b′′}i+{(a+a′)c′′+(b+b′)c′′+(c+c′)a′′}j(x+y)z={(a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j}(a′′+b′′i+c′′j)={(a+a′)a′′−(b+b′)b′′−(c+c′)c′′}+{(a+a′)b′′+(b+b′)a′′+(c+c′)b′′}i+{(a+a′)c′′+(b+b′)c′′+(c+c′)a′′}j\begin{equation*} \begin{split} xz &= (a+bi+cj)(a''+b''i+c''j) \\ &= (aa''-bb''-cc'') + (ab''+ba''+cb'') i + (ac''+bc''+ca'')j \\ yz &= (a'+b'i+c'j)(a''+b''i+c''j) \\ &= (a'a''-b'b''-c'c'')+(a'b''+b'a''+c'b'')i+(a'c''+b'c''+c'a'')j \\ xz+yz &= \{ (a+a')a''-(b+b')b''-(c+c')c'' \} \\ &+ \{ (a+a')b''+(b+b')a''+(c+c')b'' \}i \\ &+\{ (a+a')c''+(b+b')c''+(c+c')a'' \}j \\ (x+y)z &= \{ (a+a')+(b+b')i+(c+c')j \}(a''+b''i+c''j) \\ &= \{ (a+a')a''-(b+b')b''-(c+c')c'' \} \\ &+ \{ (a+a')b''+(b+b')a''+(c+c')b'' \}i \\ &+ \{ (a+a')c''+(b+b')c''+(c+c')a'' \}j \end{split} \end{equation*}

よって，(x+y)z=xz+yz(x+y)z = xz+yz．したがって，右分配法則は成立する．

三元数のアイデア

　iを掛けるとxy平面をπ2\frac{\pi}{2}回転する，jを掛けるとxz平面をπ2\frac{\pi}{2}回転する． つまり，三次元のxyz平面で言えば，三元数xxに対しixixはxxをxy平面をπ2\frac{\pi}{2}回転させた点に移動する． jxjxはxz平面をπ2\frac{\pi}{2}回転させた点に移動する． 　

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