カッシーニの恒等式
フィボナッチ数列において，次に示す等式が成り立つ．
カッシーニの恒等式を証明する．
カッシーニの恒等式は、フィボナッチ数列に関する美しい関係式です．この記事では、この恒等式を行列を用いた方法で証明します．
- フィボナッチ数列
フィボナッチ数列の定義を確認しておきます．フィボナッチ数列は、次の漸化式で定義されます．
フィボナッチ数列に関する重要な恒等式の一つです。これは、フィボナッチ数列の隣接する3項間の関係を示すもので、特に数列の項が連続している場合に成立します。
この等式が主張するところは，フィボナッチ数列のある項 において，その前後の項 との関係が であるということです．つまり，フィボナッチ数列の項がどのように連動しているかを示し、その規則性の１つを明らかにしています．よくこの等式を発見したものですね．
として，以下の等式を数学的帰納法で証明します．
この両辺の行列式を計算すると，カッシーニの恒等式が得られます．
は
を満たします．
また を計算すると，
となります．行列 はフィボナッチ数列の漸化式を生成するので，言われてみれば納得できます．
として，以下の等式を数学的帰納法で証明し，その両辺の行列式をとることで，カッシーニの恒等式が得られることを示す．
のとき
だから， のときは成り立つ．
のとき 以下が成り立つと仮定する．
このとき， だから，
よって，が成り立つとき， のときも成り立つことがわかった． したがって，数学的帰納法により，
が成り立つことが示せた．
ここで，この等式の両辺の行列式を計算すると，
以上により，カッシーニの恒等式 が示せた．