有理数の切断と実数(定義1.0，定義1.1)

定義1.0 (有理数の切断)

　有理直線$\mathbb{Q}$をつぎの2つの条件を満たすように空集合でない2つの部分集合$A$と$A^{\prime}$に分割したとき，$A$と$A^{\prime}$の組を有理数の切断とよび，$\langle A,A^{\prime} \rangle$で表わす．

1. $r \in A$のとき，$s \in A^{ \prime }$ならば，$r < s$.

   

   1.の図的表現

2. $A$に属する最大の有理数はない．すなわち，$r \in A$ならば，$t>r$なる有理数$t \in A$が存在する.

   

   2.の図的表現

定義1.1（実数）

　有理数の切断を実数とよぶ．

有理数の切断の主張

　有理数を適当に２つに分けた集合の組が有理数の切断と言っているのではない． 有理数の大小関係を考慮し，一直線上に並べた有理直線を２つに分けたときの， 有理数の無限集合の組を有理数の切断とよぶと主張している．

　ただ，これだと数学的にあいまいなので，この２つに分けた有理数の無限集合の組$\langle A, A^{\prime} \rangle$は定義の1.,2.を満たすものとする．

　有理数を分割したので，$\mathbb{Q} = A \cup A^{\prime}, \space A \cap A^{\prime} = \emptyset$である．また，切断$\langle A, A^{\prime} \rangle$において，$A$の補集合が$A^{\prime}$なので，$A$を決めれば切断$\langle A, A^{\prime} \rangle$が決まることを意味する．

実数の主張

　有理数とは異なる概念であることを主張している． 有理数の無限集合の組$\langle A, A^{\prime} \rangle$を実数と考えるため，とても数とはみなせない． しかしこの先，実数の性質をみていくと数とみなしてもよいということになる．

実数の等号

　２つの実数$\alpha, \beta$が等しい：$\alpha = \beta$というのは，切断$\langle A, A^{\prime} \rangle \text{と} \langle B, B^{\prime} \rangle$が同じであること，すなわち，$A = B$であることを意味する．

1.と同値な条件

　有理数の切断の条件1.と同値な条件がある．

• 3. $\space r \in A$に対して，$s \le r, s \in \mathbb{Q}$ならば，$s \in A$．
• 3’. $\space r \in A^{\prime}$に対して，$r \le s, s \in \mathbb{Q}$ならば，$s \in A^{\prime}$．

　これら条件は，補集合の関係にある2つの有理数の集合$A，A'$に分けたのなら，片方が切断の条件を満たせば， もう片方も自動的に条件を満たすから，片方だけ調べればよいということ．

3.の主張

　切断$\langle A,A^{\prime} \rangle$の$A$の性質について述べている． すなわち，どんな$r \in A$に対しても，$s < r$である有理数$s$は$A$に属する．

　逆に考えると，$A$の性質は$s \le r$で$A$に属さない有理数$s$は存在しないということ． 言い換えると，$A$の中に$A'$の元が混ざっていないということ． つまり，以下の図のような切断はない．

3.の図的表現

3’.の主張

　3.の主張を$A^{\prime}$側で考えればよい． すなわち，どんな$r \in A^{\prime}$に対しても，$r \le s$である有理数$s$は$A^{\prime}$に属する．

　こちらも逆に考えると，$A^{\prime}$の性質は$r \le s$で$A^{\prime}$に属さない有理数$s$は存在しないということ． 言い換えれば，$A'$の中に$A$の元が混ざっていないということ． つまり，以下の図のような切断はない．

3'.の図的表現

無理数

　有理数の切断によって，無数の有理数の集合の組$A, A'$に分けた．定義により$A$に最大の有理数はない． $A'$に最小の有理数が存在しないような組がある．そのとき，この有理数の切断は無理数であると定義する．

　$A'$に最小の有理数が存在するような組は，有理数である．