実数の大小（定義1.2・定理1.1）

定義1.2

　２つの実数$\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangle, \beta = \langle B, B^{\prime} \rangle$について，$A \subsetneq B$ならば$\alpha$は$\beta$より小さいといい，$\alpha < \beta$と書く．

定理1.1(実数の大小)

　２つの実数$\alpha, \beta$の間にはつぎの３つの関係のうちの１つ，そしてただ１つだけが成り立つ．

$$\alpha < \beta, \space \alpha = \beta, \space \alpha > \beta$$

定理の主張

　有理数と同じく，すべての実数の間には等号含む大小関係が定まる．

証明の考え方

　$\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangle, \beta = \langle B, B^{\prime} \rangle$とする．$A,B$の関係を有理数の切断の性質から考えると，$A \neq B$はありえない．つまり，$A \subsetneq B, A = B, B \subsetneq A$のいずれかである．

図1

　また，これら３つの関係は集合の性質から，どの２つも両立することはない．つまり，ただ１つだけが成立する．

　$A \subsetneq B$のとき，定義1.2から$\alpha < \beta$．

　$A = B$のとき，定義1.1の実数の等号から$\alpha = \beta$．

　$B \subsetneq A$のとき，定義1.2から$\beta < \alpha$．

復習ノート

• 実数の定義は何か．