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数学の主張

任意の実数はその値で有理数直線を切断できる(定理1.3)

定理1.3

　任意の実数α=⟨A,A′⟩\alpha = \langle A,A' \rangle について

A={r∈Q ∣ r<α}，A′={r∈Q ∣ r≥α}．A = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space r < \alpha \}， A' = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space r \geq \alpha \}．

　我々は実数に馴染みがあるので，当たり前のように思う．しかし，これの証明は案外わかりづらかった．

定理の主張

　定義1.1において，我々は有理数の切断を実数とよぶことにした． すなわち，有理数直線をある点で２つの有理数の集合A,A′A,A'に分け，その組を実数と呼んだ． これはつまり，２つに分けた有理数の集合A,A′A,A'はある基準点があって，無数の有理数を基準点との大小比較によって分けられるのである．

　この定理はこの逆を主張している． つまり実数を１つ選んだとき，その実数を構成する２つの有理数の集合はどのようなものなのか， どの基準点から大小比較すればいいのかということ． 具体的には，実数α\alphaと大小比較して（r<αr < \alphaとr≥αr \geq \alpha）よいということ．

　この定理によって，実数というものは有理数直線を２つに分割できる点（境目）とみなすことができる． つまり，有理数直線上の有理数の間に実数があるようにみることができる．

　いやらしいのは，有理数と実数の比較をしていること．ここまでの実数論の話の中で， 直接的に有理数と実数を比較できるとは言っていない．有理数を実数とみなし，比較するしかない．

証明

　A,A′A,A'が有理数の切断として機能することを示したい．つまり，任意の有理数rrに対し， rはAもしくはA′AもしくはA'のどちらかに必ず属することを示したい．

　背理法で示す．つまり，A,A′A,A'のどちらにも属さないある有理数rrが存在したと仮定し，矛盾を導く． rrは有理数なので，r=⟨R,R′⟩，R={s∈Q∣s≤r}，R′={s∈Q∣r≥s}r= \langle R, R' \rangle，R = \{ s \in \mathbb{Q} | s \le r \}，R'= \{ s \in \mathbb{Q} | r \geq s \} のように有理数の切断で表せる．　このとき，r∈R′r \in R'により，

A′⊊R′\begin{align} A' \subsetneq R' \end{align}

である．

　s∈R′s \in R'をとるとr≤sr \leq sなので，α≤r≤s\alpha \leq r \leq s．つまり，α≤s\alpha \leq s． よって，s∈A′s \in A'．したがって，R′⊆A′R' \subseteq A'．これは(1)に矛盾する．

　以上から，どんな有理数もA,A′A, A'のどちらかに必ず属する． よって，実数α\alphaを構成する２つの有理数A,A′A, A'は，定理で示した表現でよい．