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数学の主張

実数間の有理数の存在（定理1.4）

定理1.4

　任意の２つの実数𝛼,𝛽,𝛼<𝛽に対して，𝛼<𝑟<𝛽なる有理数𝑟が無数に存在する．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　これは定理1.3の逆のようなイメージで，　実数の間には有理数が無数に存在するということ． 有理数を実数とみなせば，実数が無数に存在することにもなる．

　定理1.3は実数は有理数を２つに切断できるものとしてよいということだった．それはつまり，有理数の間に実数があるということ． 定理1.4では立場を逆転させ，実数の間の有理数の存在の話をしている．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩,𝛽=⟨𝐵,𝐵′⟩とする． 𝛼<𝛽より，𝐴⊊𝐵．つまり，𝑏∈𝐵,𝑏∉𝐴なる有理数𝑏が存在する．

  1. 無数に存在することを示す．

    　𝑏∉𝐴なので，𝑏∈𝐴′である．よって，𝛼≤𝑏． 𝑏∈𝐵なので，切断の条件2.のBには最大の有理数は存在しないことから， 𝑏<𝑠，𝑠∈𝐵なる有理数𝑠が存在する．これは𝑠<𝛽である．

    　有理数𝑏，𝑠に注目すると，𝑏<𝑠なので有理数の稠密性から𝑏<𝑟<𝑠なる有理数𝑟が無数に存在する． このとき，𝛼<𝑏<𝑟<𝑠<𝛽となる，すなわち𝛼<𝑟<𝛽となる．

以上から，𝛼<𝑟<𝛽なる有理数𝑟が無数に存在することが示せた．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 実数の大小関係はどのように定義しているか．