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数学の主張

実数間の有理数の存在（定理1.4）

定理1.4

　任意の２つの実数α,β,α<β\alpha, \beta, \alpha < \betaに対して，α<r<β\alpha < r < \betaなる有理数rrが無数に存在する．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　これは定理1.3の逆のようなイメージで，　実数の間には有理数が無数に存在するということ． 有理数を実数とみなせば，実数が無数に存在することにもなる．

　定理1.3は実数は有理数を２つに切断できるものとしてよいということだった．それはつまり，有理数の間に実数があるということ． 定理1.4では立場を逆転させ，実数の間の有理数の存在の話をしている．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　α=⟨A,A′⟩,β=⟨B,B′⟩\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangle, \beta = \langle B, B^{\prime} \rangleとする． α<β\alpha < \betaより，A⊊BA \subsetneq B．つまり，b∈B,b∉Ab \in B, b \notin Aなる有理数bbが存在する．

  1. 無数に存在することを示す．

    　b∉Ab \notin Aなので，b∈A′b \in A'である．よって，α≤b\alpha \leq b． b∈Bb \in Bなので，切断の条件2.のBには最大の有理数は存在しないことから， b<s，s∈Bb < s，s \in Bなる有理数ssが存在する．これはs<βs < \betaである．

    　有理数b，sb，sに注目すると，b<sb < sなので有理数の稠密性からb<r<sb < r < sなる有理数rrが無数に存在する． このとき，α<b<r<s<β\alpha < b < r < s < \betaとなる，すなわちα<r<β\alpha < r < \betaとなる．

以上から，α<r<β\alpha < r < \betaなる有理数rrが無数に存在することが示せた．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 実数の大小関係はどのように定義しているか．