実数は有理数で近似できる．（定理1.5）

定理1.5

　自然数$m$が与えられたとする．このとき，任意の実数$\alpha$に対し，

$$a < \alpha \leq a + \frac{1}{m}$$

なる有理数$a$が存在する．

定理の主張

　実数$\alpha$は有理数でいくらでも近似できる．近似精度は自然数$m$による．

証明の考え方

　$\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangle$とする．自然数$m$を何かひとつ決めたとして， $a \in A，a + \frac{1}{m} \in A'$なる有理数$a$が構成できることを示せばよい．

1. 有理数$a$を構成する．

   $r \in A, s \in A^{\prime}$を取る．$rからs$までを$m$分割して，その$n$倍を$r$から加算したものを$a_n$とおく． すなわち，

   $$a_n = r + \frac{(s-r)n}{m}$$

   

   図1

   とおく．

   $a_n$は常に有理数で，$n=0$のとき$a_0 = r \in A$で，$n=m$のとき$a_m = s \in A'$となるので， $a_n$は$n$が$0$から増えるに従い，いつか$A$の元から$A'$の元になるはずである．

   つまり，$a_0 \in A, a_n \in A^{\prime}$から，$a_k < \alpha \leq a_{k+1}$なる自然数$k$が$0<k\leq m$に存在する．

   

   図2

   $a_{k} = a$とすれば，$a < \alpha \leq a + \frac{1}{m}$なる有理数$a$が存在することになる．

復習ノート

• 有理数の切断の条件1.,2.,3.,3’.は何だったか．