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数学の主張

循環しない無限小数は無理数を表わす．(P14)

定理(無理数)

　循環しない無限小数は無理数を表わす。

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　循環する無限小数は有理数だが，循環しない無限小数は実数であり，そのすべてが無理数である．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　証明の方針として，まず循環しない無限小数が実数であることを示す． 実数でなければ何なのか探求しなければならないが，そうではないということだ． 次に無理数であることを示す．実数だと分かれば，有理数か無理数であるので， 有理数なら分数で表現できるはずだが，そうではないということだ．

　任意の循環しない無限小数を𝛼=𝑘.𝑘1𝑘2⋯𝑘𝑛⋯とする． 𝑘は整数で，𝑘𝑛は0〜9のいずれかの整数である．

　まずこの無限小数が実数であることを示す．

  1. 有理数の切断を準備する．

    以下のように有理数の組𝐴，𝐴′を定義する．

    𝑎𝑛=𝑘.𝑘1𝑘2⋯𝑘𝑛=𝑘+𝑘110+𝑘2102+⋯+𝑘𝑛10𝑛𝑏𝑛=𝑎𝑛+110𝑛 𝐴={𝑟∈ℚ|少なくとも１つの自然数𝑛について𝑟<𝑎𝑛}.𝐴′={𝑟∈ℚ|すべての自然数𝑛について𝑎𝑛≤𝑟}．

    ポイントは，𝑎1≤𝑎2≤⋯≤𝑎𝑛≤⋯≤𝛼という性質で𝐴′を定義していること． 𝐴は𝐴′の補集合である．

    𝑏𝑛は無理数であることを示すときに使われる．

    この有理数の無限集合の組⟨𝐴,𝐴′⟩が証明の方針に従い，無理数であることを示す．

  2. 実数であること.

    　定義に従って，まず⟨𝐴,𝐴′⟩が実数であることを示す．

    　前提として，𝑎1∈𝐴,𝑏1∈𝐴′なので，𝐴,𝐴′は空集合ではない．

    　また，𝐴′は有理数の切断の条件3’.を満たす． なぜなら，𝑟∈𝐴′のとき，𝑟≤𝑠,𝑠∈ℚならば，∀𝑛∈ℕ,𝑎𝑛<𝑟≤𝑠なので，∀𝑛∈ℕ,𝑎𝑛<𝑠となるから． 難しく書いたがつまり，𝐴′の元を適当に𝑟を取って，𝑟≤𝑠な有理数𝑠はすべて𝐴′の元だから， 𝐴′は有理数の切断の条件3’.を満たしているということ．

    　そして，𝐴に最大の有理数はない． なぜなら，𝐴の定義から𝐴に属する有理数𝑟はある自然数𝑛が存在して， 𝑟<𝑎𝑛で𝑎𝑛∈ℚ∩𝐴なので，かならず大きい有理数がある．

    　以上から，⟨𝐴,𝐴′⟩は実数である．

  3. 𝑘.𝑘1𝑘2⋯𝑘𝑛⋯=⟨𝐴,𝐴′⟩である．

    　𝛼=𝑘.𝑘1𝑘2⋯𝑘𝑛⋯とおく． 𝐴,𝐴′の元が𝛼を境界としていることを示す． すなわち，上で定義した𝐴,𝐴′が{𝑟∈ℚ|𝑟<𝛼}と{𝑟∈ℚ|𝛼≤𝑟}に等しいことを示す．

    　𝑟∈𝐴を任意でとる．すると，ある自然数𝑁があり，𝑟<𝑎𝑁を満たす． 𝑎𝑛の性質からすべての自然数𝑛において，𝑎𝑛<𝛼だから𝑟<𝑎𝑁<𝛼． よって，𝐴={𝑟∈ℚ|𝑟<𝛼}．

    　𝑟∈𝐴′を任意でとる．するとすべての自然数nにおいて，𝑎𝑛≤𝑟．また，𝑎𝑛<𝛼である．𝑟,𝛼を比較すると，𝑟<𝛼はありえない．𝑟<𝛼なら，𝑟∈𝐴でもあるが，𝐴∩𝐴′=∅なので，ありえない．よって，𝛼≤𝑟である． したがって，𝐴′={𝑟∈ℚ|𝛼≤𝑟}．

    　以上から，𝑘.𝑘1𝑘2⋯𝑘𝑛⋯=𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩．

  4. 無理数である.

    　𝐴′に最小の有理数がないことを示す．

    　すべての自然数𝑛において，𝛼<𝑏𝑛,𝑏𝑛∈𝐴′であり，𝑏𝑛+1<𝑏𝑛なので，𝐴′に最小の有理数は存在しない．

以上により，循環しない無限小数は無理数であることが示せた．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 有理数の切断の定義は何か．
    • 同値な条件は何か．
  • 有理数の切断⟨𝐴,𝐴′⟩における，有理数と無理数の違いは何か．