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数学の主張

循環しない無限小数は無理数を表わす．(P14)

定理(無理数)

　循環しない無限小数は無理数を表わす。

定理の主張

　循環する無限小数は有理数だが，循環しない無限小数は実数であり，そのすべてが無理数である．

証明の考え方

　証明の方針として，まず循環しない無限小数が実数であることを示す． 実数でなければ何なのか探求しなければならないが，そうではないということだ． 次に無理数であることを示す．実数だと分かれば，有理数か無理数であるので， 有理数なら分数で表現できるはずだが，そうではないということだ．

　任意の循環しない無限小数をα=k.k1k2⋯kn⋯\alpha = k.k_1k_2 \cdots k_n \cdots とする． kkは整数で，knk_nは00〜99のいずれかの整数である．

　まずこの無限小数が実数であることを示す．

  1. 有理数の切断を準備する．

    以下のように有理数の組A，A′A，A'を定義する．

    an=k.k1k2⋯kn=k+k110+k2102+⋯+kn10nbn=an+110n\begin{aligned} a_n &= k.k_1k_2\cdots k_n \\ &= k + \frac{k_1}{10} + \frac{k_2}{10^2} + \cdots + \frac{k_n}{10^n} \\ b_n &= a_n + \frac{1}{10^n} \end{aligned} A={r∈Q ∣ 少なくとも１つの自然数nについてr<an}.A′={r∈Q ∣ すべての自然数nについてan≤r}．\begin{aligned} A &= \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space \text{少なくとも１つの自然数}n\text{について}r \lt a_n \}. \\ A^{\prime} &= \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space \text{すべての自然数}n\text{について} a_n \le r \}． \end{aligned}

    ポイントは，a1≤a2≤⋯≤an≤⋯≤αa_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \le \cdots \le \alpha という性質でA′A'を定義していること． AAはA′A'の補集合である．

    bnb_nは無理数であることを示すときに使われる．

    この有理数の無限集合の組⟨A,A′⟩\langle A, A^{\prime} \rangleが証明の方針に従い，無理数であることを示す．

  2. 実数であること.

    　定義に従って，まず⟨A,A′⟩\langle A,A' \rangleが実数であることを示す．

    　前提として，a1∈A,b1∈A′a_1 \in A, b_1 \in A^{\prime}なので，A,A′A, A^{\prime}は空集合ではない．

    　また，A′A^{\prime}は有理数の切断の条件3’.を満たす． なぜなら，r∈A′r \in A^{\prime}のとき，r≤s,s∈Qr \le s, s \in \mathbb{Q}ならば，∀n∈N,an<r≤s\forall n \in \mathbb{N}, a_n < r \le sなので，∀n∈N,an<s\forall n \in \mathbb{N}, a_n < sとなるから． 難しく書いたがつまり，A′A'の元を適当にrrを取って，r≤sr \le sな有理数ssはすべてA′A'の元だから， A′A'は有理数の切断の条件3’.を満たしているということ．

    　そして，AAに最大の有理数はない． なぜなら，AAの定義からAAに属する有理数rrはある自然数nnが存在して， r<anr < a_nでan∈Q∩Aa_n \in \mathbb{Q} \cap Aなので，かならず大きい有理数がある．

    　以上から，⟨A,A′⟩\langle A, A^{\prime} \rangleは実数である．

  3. k.k1k2⋯kn⋯=⟨A,A′⟩k.k_1k_2 \cdots k_n \cdots = \langle A,A^{\prime} \rangleである．

    　α=k.k1k2⋯kn⋯\alpha = k.k_1k_2\cdots k_n \cdots とおく． A,A′A, A^{\prime}の元がα\alphaを境界としていることを示す． すなわち，上で定義したA,A′A,A'が{r∈Q ∣ r<α}\{r \in \mathbb{Q} \space | \space r < \alpha \}と{r∈Q ∣ α≤r}\{ r \in \mathbb{Q} \space | \space \alpha \leq r \}に等しいことを示す．

    　r∈Ar \in Aを任意でとる．すると，ある自然数NNがあり，r<aNr < a_Nを満たす． ana_nの性質からすべての自然数nnにおいて，an<αa_n < \alphaだからr<aN<αr < a_N < \alpha． よって，A={r∈Q ∣ r<α}A = \{r \in \mathbb{Q} \space | \space r < \alpha \}．

    　r∈A′r \in A^{\prime}を任意でとる．するとすべての自然数nにおいて，an≤ra_n \leq r．また，an<αa_n < \alphaである．r,αr,\alphaを比較すると，r<αr < \alphaはありえない．r<αr < \alphaなら，r∈Ar \in Aでもあるが，A∩A′=∅A \cap A^{\prime} = \emptysetなので，ありえない．よって，α≤r\alpha \leq rである． したがって，A′={r∈Q ∣ α≤r}A^{\prime} = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space \alpha \leq r \}．

    　以上から，k.k1k2⋯kn⋯=α=⟨A,A′⟩k.k_1k_2 \cdots k_n \cdots = \alpha = \langle A, A^{\prime} \rangle．

  4. 無理数である.

    　A′A^{\prime}に最小の有理数がないことを示す．

    　すべての自然数nnにおいて，α<bn,bn∈A′\alpha < b_n, b_n \in A^{\prime}であり，bn+1<bnb_{n+1} < b_nなので，A′A^{\prime}に最小の有理数は存在しない．

以上により，循環しない無限小数は無理数であることが示せた．

復習ノート

  • 有理数の切断の定義は何か．
    • 同値な条件は何か．
  • 有理数の切断⟨A,A′⟩\langle A, A^{\prime} \rangleにおける，有理数と無理数の違いは何か．