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数学の主張

無理数は稠密である．（P16）

定理(無理数の稠密性)

　無理数は数直線ℝ上至る所稠密に分布している．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　循環しない無限小数はすべて無理数を表わすことを証明するとすぐにわかるらしい．私にはすぐにわからなかった．有理数が稠密であることは定理1.4でわかるが，無理数も稠密であることがこの定理の主張である．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

  1. 稠密の確認

    　無理数が稠密であるとは，

    無理数𝛼,𝛽,𝛼<𝛽が任意で与えられたとき，𝛼<𝛾<𝛽なる無理数𝛾が無数に存在する．

    ということ．

  2. 切断の準備

    　𝛼,𝛽は循環しない無限小数である．𝛼=𝑘.𝑘1𝑘2⋯𝑘𝑛⋯,𝛽=𝑠.𝑠1𝑠2⋯𝑠𝑛⋯とおく．また，

    𝑎𝑛=𝑘+𝑘110+𝑘2102+⋯+𝑘𝑛10𝑛𝑏𝑛=𝑠+𝑠110+𝑠2102+⋯+𝑠𝑛10𝑛

    とする．

    𝐶′={𝑟∈ℚ|∀𝑛∈ℕ;𝑐𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛2≤𝑟}

    𝐶は𝐶′の補集合とすると，⟨𝐶,𝐶′⟩は切断である．（循環しない無限小数は無理数を表わすを参照．）

  3. 𝛼<𝛾<𝛽であること．

    　𝛾=⟨𝐶,𝐶′⟩とするとき，𝛼<𝛾<𝛽であることを示す．すなわち，

    𝐴⊊𝐶,𝐶⊊𝐵

    であることを示す．

    　定理1.5より，実数𝛼に対して，𝑎<𝛼≤𝑎+1𝑚，𝑎∈𝐴,𝑎+1𝑚∈𝐶なる有理数𝑎と自然数𝑚が存在する．𝑎+1𝑚∉𝐴で𝑎+1𝑚∈𝐶なので，𝐴≠𝐶である．𝐶の定義から，明らかに𝐴⊊𝐶なので，合わせると𝐴⊊𝐶となる．

    　𝛾と𝛽に対しても同様である．よって，𝛼<𝛾<𝛽である．

  4. 𝛾は無理数であること．

    　𝐶′に最小の有理数がないことを示す．

    𝑑𝑛=𝑐𝑛+110𝑛

    と𝛾を考える．すべての自然数𝑛において，𝛾<𝑑𝑛で，𝑑𝑛+1<𝑑𝑛という性質から，𝐶′に最小の有理数はない．

  5. 無数に存在すること．

    　ここまでで，無理数𝛼,𝛽,𝛼<𝛽に対し，𝛼<𝛾<𝛽なる無理数が存在することがわかった．以下，𝛼<𝛾についても同様に議論をすれば，無理数が無数に存在することがわかる．