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数学の主張

無理数は稠密である．（P16）

定理(無理数の稠密性)

　無理数は数直線R\mathbb{R}上至る所稠密に分布している．

定理の主張

　循環しない無限小数はすべて無理数を表わすことを証明するとすぐにわかるらしい．私にはすぐにわからなかった．有理数が稠密であることは定理1.4でわかるが，無理数も稠密であることがこの定理の主張である．

証明の考え方

  1. 稠密の確認

    　無理数が稠密であるとは，

    　無理数α,β,α<βが任意で与えられたとき，α<γ<βなる無理数γが無数に存在する．　無理数\alpha,\beta, \alpha < \beta が任意で与えられたとき，\alpha < \gamma < \betaなる無理数\gammaが無数に存在する．

    ということ．

  2. 切断の準備

    　α,β\alpha, \betaは循環しない無限小数である．α=k.k1k2⋯kn⋯ ,β=s.s1s2⋯sn⋯\alpha = k.k_1k_2 \cdots k_n \cdots, \beta = s.s_1s_2 \cdots s_n \cdots とおく．また，

    an=k+k110+k2102+⋯+kn10nbn=s+s110+s2102+⋯+sn10n\begin{aligned} a_n &= k + \frac{k_1}{10}+\frac{k_2}{10^2}+ \cdots + \frac{k_n}{10^n} \\ b_n &= s + \frac{s_1}{10}+\frac{s_2}{10^2} + \cdots + \frac{s_n}{10^n} \end{aligned}

    とする．

    C′={r∈Q ∣ ∀n∈N;cn=an+bn2≤r}C^{\prime} = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space \forall n \in \mathbb{N}; c_n = \frac{a_n + b_n}{2} \leq r \}

    CCはC′C^{\prime}の補集合とすると，⟨C,C′⟩\langle C,C^{\prime} \rangleは切断である．（循環しない無限小数は無理数を表わすを参照．）

  3. α<γ<β\alpha < \gamma < \betaであること．

    　γ=⟨C,C′⟩\gamma = \langle C, C^{\prime}\rangleとするとき，α<γ<β\alpha < \gamma < \betaであることを示す．すなわち，

    A⫋C,C⫋BA \subsetneqq C, C \subsetneqq B

    であることを示す．

    　定理1.5より，実数α\alphaに対して，a<α≤a+1m，a∈A,a+1m∈Ca < \alpha \leq a + \frac{1}{m}，a \in A, a + \frac{1}{m} \in Cなる有理数aaと自然数mmが存在する．a+1m∉Aa + \frac{1}{m} \notin Aでa+1m∈Ca + \frac{1}{m} \in Cなので，A≠CA \neq Cである．CCの定義から，明らかにA⫅CA \subseteqq Cなので，合わせるとA⫋CA \subsetneqq Cとなる．

    　γとβ\gammaと\betaに対しても同様である．よって，α<γ<β\alpha < \gamma < \betaである．

  4. γ\gammaは無理数であること．

    　C′C^{\prime}に最小の有理数がないことを示す．

    dn=cn+110nd_n = c_n + \frac{1}{10^n}

    とγ\gammaを考える．すべての自然数nnにおいて，γ<dn\gamma < d_nで，dn+1<dnd_{n+1} < d_nという性質から，C′C^{\prime}に最小の有理数はない．

  5. 無数に存在すること．

    　ここまでで，無理数α,β,α<β\alpha, \beta, \alpha < \betaに対し，α<γ<β\alpha < \gamma < \betaなる無理数が存在することがわかった．以下，α<γ\alpha < \gammaについても同様に議論をすれば，無理数が無数に存在することがわかる．