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数学の主張

実数の連続性（定理1.6）

定理1.6（実数の連続性）

　⟨B,B′⟩\langle B, B' \rangleが実数の切断のとき，BBに属する最大の実数が存在するか，またはB′B'に属する最小の実数が存在する．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　本定理の主張は，記事タイトルの通り，実数は連続しているということだ．しかし，定理の字面を真正面に受け取ってもそのようには読めない．いったいどういうことなのか．

　B,B′B, B'について以下のとおりに整理できる． （maxBB, minB′B'は最大値，最小値を意味する．）

maxBBminB′B'
(1)有有実数の切断の定義より，ありえない．
(2)有無可能性あり．
(3)無有可能性あり．
(4)無無可能性あり．
実数の切断における最大／最小値の可能性を整理．

　本定理は，(2),(3)のいずれかであり，(4)ではないことを主張している．有理数の切断(⟨A,A′⟩\langle A, A' \rangle)と有理数が連続でない（すき間がある）関係を考えるとわかりやすい．

maxAAminA′A'
(1)‘有有有理数の切断の定義より，ありえない．
(2)‘有無有理数の切断の定義より，ありえない．
(3)‘無有有理数と同値．
(4)‘無無無理数．有理直線上のすき間．
有理数の切断における最大／最小値の整理．

　有理数の切断を考えた場合，(4)‘はすき間があるということだった． 実数の切断でも同様に考えて，(4)の場合が否定できると，実数にすき間がないことになり， 連続であることが言える．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　以下の命題を示せばよい．

実数の連続性

　どんな実数の切断⟨R,R′⟩\langle R, R'\rangleにおいても，すき間がない． （すなわち，RRに最大の実数が存在するか，もしくはR′R'に最小の実数が存在する．）

　背理法により示す．すなわち，

ある実数の切断⟨R,R′⟩があり，この切断において，Rに最大の実数がなく かつ R′に最小の実数がないある実数の切断\langle R, R' \rangle があり， この切断において，\\ Rに最大の実数がなく\,かつ\, R'に最小の実数がない

と仮定し，矛盾を示す．（この仮定が成立したらすき間があるということだから．）

  1. すき間付近の実数を構成する．

    　⟨R,R′⟩\langle R, R' \rangleに対し， α=⟨A,A′⟩\alpha = \langle A, A' \rangle，A=R∩QA= R \cap \mathbb{Q}， A′=R′∩QA'=R' \cap \mathbb{Q}を考える． ⟨A,A′⟩\langle A, A' \rangleが有理数の切断であることを確かめる．なぜなら， AAに最大の有理数が存在するかどうかわかっていないから．

    　R,R′R, R'は空集合ではないので，A,A′A, A'も空集合ではない． r∈A,s∈A′r \in A, s \in A'とすると，r∈R,s∈R′r \in R, s \in R'であり， 実数の切断の定義より，r<sr < s． よって，有理数の切断の条件(1)(1)を満たす．

    　AAに最大の有理数r0r_0が存在したとすると，r0∈Rr_0 \in Rでもあることと， 背理法の仮定からRRに最大の実数がないので，r0<ρr_0 < \rhoなる実数ρ∈R\rho \in Rがある． このとき定理1.4より，r0<r<ρr_0 < r < \rhoなる有理数rrが存在する． しかしr0r_0はAAの最大の有理数であると仮定したので，矛盾する． よって，AAは最大の有理数は存在しない．つまり，有理数の切断の条件2.を満たす．

    　以上により，α=⟨A,A′⟩\alpha = \langle A, A' \rangleは有理数の切断（実数）である．

  2. 矛盾を示す．

    　α\alphaは実数であり， 実数の切断⟨R,R′⟩\langle R, R' \rangleにおいてはα∈R\alpha \in Rもしくはα∈R′\alpha \in R'である．

    　α∈R\alpha \in Rとする．RRに最大の実数はないので， α<ρ\alpha < \rhoなる実数ρ∈R\rho \in Rが存在する． 定理1.4より，α<r<ρ\alpha < r < \rhoなる有理数rrがある． α<r\alpha < rなので，r∈A′r \in A'だが，r<ρr < \rhoなのでr∈Rr \in R， つまりr∈Ar \in Aのはず．矛盾する．つまりα∉R\alpha \notin R．

    　α∈R′\alpha \in R'とする．R′R'に最小の実数はないので， φ<α\varphi < \alphaなる実数φ∈R′\varphi \in R'が存在する． 定理1.4より， φ<r<α\varphi < r < \alphaなる有理数rrがある． r<αr < \alphaなので，r∈Ar \in Aだが，φ<r\varphi < rなのでr∈R′r \in R'， つまりr∈A′r \in A'のはず．矛盾する． つまりα∉R′\alpha \notin R'．

    　以上から実数α\alphaが実数の切断⟨R,R′⟩\langle R, R' \rangleのどちらにも属さない矛盾が発生した．

　したがって，背理法により実数にはすき間がない（連続である）．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 実数の切断と有理数の切断は何が違うのだろうか．