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数学の主張

実数の連続性（定理1.6）

定理1.6（実数の連続性）

　⟨𝐵,𝐵′⟩が実数の切断のとき，𝐵に属する最大の実数が存在するか，または𝐵′に属する最小の実数が存在する．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　本定理の主張は，記事タイトルの通り，実数は連続しているということだ．しかし，定理の字面を真正面に受け取ってもそのようには読めない．いったいどういうことなのか．

　𝐵,𝐵′について以下のとおりに整理できる． （max𝐵, min𝐵′は最大値，最小値を意味する．）

max𝐵min𝐵′
(1)有有実数の切断の定義より，ありえない．
(2)有無可能性あり．
(3)無有可能性あり．
(4)無無可能性あり．
実数の切断における最大／最小値の可能性を整理．

　本定理は，(2),(3)のいずれかであり，(4)ではないことを主張している．有理数の切断(⟨𝐴,𝐴′⟩)と有理数が連続でない（すき間がある）関係を考えるとわかりやすい．

max𝐴min𝐴′
(1)‘有有有理数の切断の定義より，ありえない．
(2)‘有無有理数の切断の定義より，ありえない．
(3)‘無有有理数と同値．
(4)‘無無無理数．有理直線上のすき間．
有理数の切断における最大／最小値の整理．

　有理数の切断を考えた場合，(4)‘はすき間があるということだった． 実数の切断でも同様に考えて，(4)の場合が否定できると，実数にすき間がないことになり， 連続であることが言える．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　以下の命題を示せばよい．

実数の連続性

　どんな実数の切断⟨𝑅,𝑅′⟩においても，すき間がない． （すなわち，𝑅に最大の実数が存在するか，もしくは𝑅′に最小の実数が存在する．）

　背理法により示す．すなわち，

ある実数の切断⟨𝑅,𝑅′⟩があり，この切断において，𝑅に最大の実数がなくかつ𝑅′に最小の実数がない

と仮定し，矛盾を示す．（この仮定が成立したらすき間があるということだから．）

  1. すき間付近の実数を構成する．

    　⟨𝑅,𝑅′⟩に対し， 𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩，𝐴=𝑅∩ℚ， 𝐴′=𝑅′∩ℚを考える． ⟨𝐴,𝐴′⟩が有理数の切断であることを確かめる．なぜなら， 𝐴に最大の有理数が存在するかどうかわかっていないから．

    　𝑅,𝑅′は空集合ではないので，𝐴,𝐴′も空集合ではない． 𝑟∈𝐴,𝑠∈𝐴′とすると，𝑟∈𝑅,𝑠∈𝑅′であり， 実数の切断の定義より，𝑟<𝑠． よって，有理数の切断の条件(1)を満たす．

    　𝐴に最大の有理数𝑟0が存在したとすると，𝑟0∈𝑅でもあることと， 背理法の仮定から𝑅に最大の実数がないので，𝑟0<𝜌なる実数𝜌∈𝑅がある． このとき定理1.4より，𝑟0<𝑟<𝜌なる有理数𝑟が存在する． しかし𝑟0は𝐴の最大の有理数であると仮定したので，矛盾する． よって，𝐴は最大の有理数は存在しない．つまり，有理数の切断の条件2.を満たす．

    　以上により，𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩は有理数の切断（実数）である．

  2. 矛盾を示す．

    　𝛼は実数であり， 実数の切断⟨𝑅,𝑅′⟩においては𝛼∈𝑅もしくは𝛼∈𝑅′である．

    　𝛼∈𝑅とする．𝑅に最大の実数はないので， 𝛼<𝜌なる実数𝜌∈𝑅が存在する． 定理1.4より，𝛼<𝑟<𝜌なる有理数𝑟がある． 𝛼<𝑟なので，𝑟∈𝐴′だが，𝑟<𝜌なので𝑟∈𝑅， つまり𝑟∈𝐴のはず．矛盾する．つまり𝛼∉𝑅．

    　𝛼∈𝑅′とする．𝑅′に最小の実数はないので， 𝜑<𝛼なる実数𝜑∈𝑅′が存在する． 定理1.4より， 𝜑<𝑟<𝛼なる有理数𝑟がある． 𝑟<𝛼なので，𝑟∈𝐴だが，𝜑<𝑟なので𝑟∈𝑅′， つまり𝑟∈𝐴′のはず．矛盾する． つまり𝛼∉𝑅′．

    　以上から実数𝛼が実数の切断⟨𝑅,𝑅′⟩のどちらにも属さない矛盾が発生した．

　したがって，背理法により実数にはすき間がない（連続である）．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 実数の切断と有理数の切断は何が違うのだろうか．