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数学の主張

実数の加法の定義．（P18，補題1.1）

定義（加法）

　有理数の任意の２つの集合S,TS, Tが与えられたとき，s∈S,t∈Ts \in S, t \in Tの和s+ts + t全体の集合をS+TS + Tで表わす：

S+T={s+t ∣ s∈S,t∈T}.S + T = \{ s + t \space | \space s \in S, t \in T \}.

また同様に

S+t={s+t ∣ s∈S}S + t = \{ s + t \space | \space s \in S \}

などと書く．

補題1.1

　a,ba, bが有理数のとき，r<a+br < a + bなる有理数rrに対してr=s+t,s<a,t<br = s + t, s < a, t < bなる有理数s,ts, tが存在する．

定義1.3

　２つの実数α=⟨A,A′⟩,β=⟨B,B′⟩\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangle, \beta = \langle B, B^{\prime} \rangleが任意に与えられたとき，αとβ\alpha \text{と} \betaの和を

α+β=σ, σ=⟨S,S′⟩, S=A+B\alpha + \beta = \sigma, \space \sigma = \langle S, S^{\prime} \rangle, \space S = A + B

と定義する．

定義の主張

　有理数の２つの集合における加法を定義している．まだここでは有理数の切断の加法について言及していない．

補題1.1の主張

　定義1.3を主張する上で必要．主張内容は上のとおり素直に受け取ればよい．

補題1.1の証明の考え方

　有理数の存在を証明するので，仮定のa,b,ra, b, rを使って，条件を満たす有理数s,ts, tを構成できることを示せばいい．

　有理数s,ts, tを以下のとおりに定義する．

s=a−(a+b−r)2t=b−(a+b−r)2\begin{aligned} s &= a - \frac{(a+b-r)}{2} \\ t &= b - \frac{(a+b-r)}{2} \end{aligned}

このとき，s+t=rs + t = rであり，r<a+br < a + bから(a+b−r)2>0\frac{(a+b-r)}{2} > 0からs>as > aおよびr>br > bがわかる．

　したがって，a,b,ra, b, rからs,ts, tを構成できたので，補題1.1は成立する．

定義1.3の主張

　SSはs+t(s∈A,t∈B)s + t(s \in A, t \in B)の全体である．r<α+βr < \alpha + \betaを満たす有理数rrの全体などと言っていない．r<α+βr < \alpha + \betaで理論が構築されていれば，わかりやすいのに．

⟨S,S′⟩\langle S, S^{\prime} \rangleは有理数の切断である．

　σ=⟨S,S′⟩\sigma = \langle S, S^{\prime} \rangleと定義したが，⟨S,S′⟩\langle S, S^{\prime} \rangleが有理数の切断かどうかはまだ示されていない．

  1. S,S′S, S^{\prime}が空集合でないこと．

    　まず，S,S′S, S^{\prime}が空集合でないことを示す．

    　S=A+BS = A + Bは空集合ではない．なぜなら，A,BA, Bは有理数の切断において空集合ではないので，ある有理数a∈A,b∈Ba \in A, b \in Bが存在し，a+b∈Sa + b \in Sとなり，SSに元が存在する．

    　S′S^{\prime}はSSの補集合と定義される．これだけではS′S^{\prime}が空集合かどうかは不明である．しかし，S′S^{\prime}は空集合でない．

    　なぜならば，任意のr∈A,s∈Br \in A, s \in Bにおいてr+s<u+vr + s < u + vを満たすu∈A′,v∈B′u \in A^{\prime}, v \in B^{\prime}が取れる．すなわち，SSに含まれない有理数u+vu + vが存在するということ．つまり，S′S^{\prime}は空集合でないということ．

  2. 有理数の切断の条件3を満たすこと．

    　任意でa+b∈S(a∈A,b∈B)a + b \in S ( a \in A, b \in B )を取る．補題1.1よりr=s+t<a+br = s + t < a + bを満たすs∈A,t∈Bs \in A, t \in Bがある．これはr=s+t∈Sr = s + t \in Sを意味し，r<a+br < a + bである有理数rrはr∈Sr \in Sということ．すなわち，有理数の切断の条件3を満たす．

  3. SSに属する最大の有理数はない．

    　A,BA, Bに最大の有理数がないので，A+BA + Bにも最大の有理数はない．したがって，S=A+BS = A + Bにも最大の有理数はない．

　以上により，⟨S,S′⟩\langle S, S^{\prime} \rangleは有理数の切断であることが示せた．