コンテンツにスキップ
数学の主張

実数の加法の定義．（P18，補題1.1）

定義（加法）

　有理数の任意の２つの集合𝑆,𝑇が与えられたとき，𝑠∈𝑆,𝑡∈𝑇の和𝑠+𝑡全体の集合を𝑆+𝑇で表わす：

𝑆+𝑇={𝑠+𝑡|𝑠∈𝑆,𝑡∈𝑇}.

また同様に

𝑆+𝑡={𝑠+𝑡|𝑠∈𝑆}

などと書く．

補題1.1

　𝑎,𝑏が有理数のとき，𝑟<𝑎+𝑏なる有理数𝑟に対して𝑟=𝑠+𝑡,𝑠<𝑎,𝑡<𝑏なる有理数𝑠,𝑡が存在する．

定義1.3

　２つの実数𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩,𝛽=⟨𝐵,𝐵′⟩が任意に与えられたとき，𝛼と𝛽の和を

𝛼+𝛽=𝜎,𝜎=⟨𝑆,𝑆′⟩,𝑆=𝐴+𝐵

と定義する．

定義の主張

Section titled “定義の主張”

　有理数の２つの集合における加法を定義している．まだここでは有理数の切断の加法について言及していない．

補題1.1の主張

Section titled “補題1.1の主張”

　定義1.3を主張する上で必要．主張内容は上のとおり素直に受け取ればよい．

補題1.1の証明の考え方

Section titled “補題1.1の証明の考え方”

　有理数の存在を証明するので，仮定の𝑎,𝑏,𝑟を使って，条件を満たす有理数𝑠,𝑡を構成できることを示せばいい．

　有理数𝑠,𝑡を以下のとおりに定義する．

𝑠=𝑎−(𝑎+𝑏−𝑟)2𝑡=𝑏−(𝑎+𝑏−𝑟)2

このとき，𝑠+𝑡=𝑟であり，𝑟<𝑎+𝑏から(𝑎+𝑏−𝑟)2>0から𝑠>𝑎および𝑟>𝑏がわかる．

　したがって，𝑎,𝑏,𝑟から𝑠,𝑡を構成できたので，補題1.1は成立する．

定義1.3の主張

Section titled “定義1.3の主張”

　𝑆は𝑠+𝑡(𝑠∈𝐴,𝑡∈𝐵)の全体である．𝑟<𝛼+𝛽を満たす有理数𝑟の全体などと言っていない．𝑟<𝛼+𝛽で理論が構築されていれば，わかりやすいのに．

⟨𝑆,𝑆′⟩は有理数の切断である．

Section titled “.typst-text { pointer-events: bounding-box; } .tsel span, .tsel { left: 0; position: fixed; text-align: justify; white-space: nowrap; width: 100%; height: 100%; text-align-last: justify; color: transparent; white-space: pre; } .tsel span::-moz-selection, .tsel::-moz-selection { color: transparent; background: #7db9dea0; } .tsel span::selection, .tsel::selection { color: transparent; background: #7db9dea0; } .pseudo-link { fill: transparent; cursor: pointer; pointer-events: all; } svg { fill: none; } .outline_glyph path, path.outline_glyph { fill: var(--glyph_fill); stroke: var(--glyph_stroke); } .outline_glyph path, path.outline_glyph { transition: 0.2s fill stroke; } .hover .typst-text { --glyph_fill: #66bab7; --glyph_stroke: #66bab7; } .typst-jump-ripple, .typst-debug-react-ripple { width: 0; height: 0; background-color: transparent; position: absolute; border-radius: 50%; } .typst-jump-ripple { border: 1px solid #66bab7; } .typst-debug-react-ripple { border: 1px solid #cb1b45; } @keyframes typst-jump-ripple-effect { to { width: 10vw; height: 10vw; opacity: 0.01; margin: -5vw; } } @keyframes typst-debug-react-ripple-effect { to { width: 3vw; height: 3vw; opacity: 0.01; margin: -1.5vw; } } ⟨𝑆,𝑆′⟩は有理数の切断である．”

　𝜎=⟨𝑆,𝑆′⟩と定義したが，⟨𝑆,𝑆′⟩が有理数の切断かどうかはまだ示されていない．

  1. 𝑆,𝑆′が空集合でないこと．

    　まず，𝑆,𝑆′が空集合でないことを示す．

    　𝑆=𝐴+𝐵は空集合ではない．なぜなら，𝐴,𝐵は有理数の切断において空集合ではないので，ある有理数𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵が存在し，𝑎+𝑏∈𝑆となり，𝑆に元が存在する．

    　𝑆′は𝑆の補集合と定義される．これだけでは𝑆′が空集合かどうかは不明である．しかし，𝑆′は空集合でない．

    　なぜならば，任意の𝑟∈𝐴,𝑠∈𝐵において𝑟+𝑠<𝑢+𝑣を満たす𝑢∈𝐴′,𝑣∈𝐵′が取れる．すなわち，𝑆に含まれない有理数𝑢+𝑣が存在するということ．つまり，𝑆′は空集合でないということ．

  2. 有理数の切断の条件3を満たすこと．

    　任意で𝑎+𝑏∈𝑆(𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵)を取る．補題1.1より𝑟=𝑠+𝑡<𝑎+𝑏を満たす𝑠∈𝐴,𝑡∈𝐵がある．これは𝑟=𝑠+𝑡∈𝑆を意味し，𝑟<𝑎+𝑏である有理数𝑟は𝑟∈𝑆ということ．すなわち，有理数の切断の条件3を満たす．

  3. 𝑆に属する最大の有理数はない．

    　𝐴,𝐵に最大の有理数がないので，𝐴+𝐵にも最大の有理数はない．したがって，𝑆=𝐴+𝐵にも最大の有理数はない．

　以上により，⟨𝑆,𝑆′⟩は有理数の切断であることが示せた．