追加

実数が有理数の場合の加法について（P19)

定理

$\alpha = a, \beta = b$ が有理数のとき，実数としての和 $\alpha + \beta$ と有理数としての和 $a+b$ は一致する：

\alpha + \beta = a + b．

定理の主張

　実数の加法については定義した．だが，その実数がともに有理数であった場合，和の切断は自然な表し方ができるということを主張している．すなわち，

\alpha + \beta = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space r < a + b \}

とできる．要するに，有理数であれば， $a + b$ で切断したことと同じということ．

　上記は当たり前のようにみえるが，実数の加法の定義では

\alpha + \beta = \{ s + t \space | \space s \in A, t \in B \}

( $\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangle , \space \beta = \langle B, B^{\prime} \rangle$ )なので， $r < a + b$ とは言えないのである．

　 $a + b$ を実数として切断で表わすと， $R = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space r < a + b \}$ として， $a + b = \langle R, R^{\prime} \rangle$ ．

　また， $\alpha + \beta = \langle S, S^{\prime} \rangle$ ， $S = A + B = \{ t + u \space | \space t \in A, u \in B \}$ とおく．

　 $\alpha + \beta = a + b$ を示すには， $S = R$ を示せばよい．

$R \subset S$ を示す．

$r \in R$ とする． $r < a + b$ である．補題1.1より，有理数 $a,b$ に対し， $r = s + t, s < a, t < b$ なる有理数 $s, t$ が存在する．有理数の切断の条件1.より， $s < a, t < b$ なる有理数 $s, t$ は $s \in A, t \in B$ ．よって， $r = s + t \in S$ なので， $R \subset S$ ．
$S \subset R$ を示す．

$s \in S, s = t + u, t \in A, u \in B$ とする． $t < a, u < b$ なので， $t + u < a + b$ ．したがって， $s \in R$ ．つまり， $S \subset R$ ．

　以上より， $S = R$ を示せた．