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数学の主張

実数が有理数の場合の加法について（P19)

定理

𝛼=𝑎,𝛽=𝑏が有理数のとき，実数としての和𝛼+𝛽と有理数としての和𝑎+𝑏は一致する：

𝛼+𝛽=𝑎+𝑏．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　実数の加法については定義した．だが，その実数がともに有理数であった場合，和の切断は自然な表し方ができるということを主張している．すなわち，

𝛼+𝛽={𝑟∈ℚ|𝑟<𝑎+𝑏}

とできる．要するに，有理数であれば，𝑎+𝑏で切断したことと同じということ．

　上記は当たり前のようにみえるが，実数の加法の定義では

𝛼+𝛽={𝑠+𝑡|𝑠∈𝐴,𝑡∈𝐵}

(𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩,𝛽=⟨𝐵,𝐵′⟩)なので，𝑟<𝑎+𝑏とは言えないのである．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　𝑎+𝑏を実数として切断で表わすと，𝑅={𝑟∈ℚ|𝑟<𝑎+𝑏}として，𝑎+𝑏=⟨𝑅,𝑅′⟩．

　また，𝛼+𝛽=⟨𝑆,𝑆′⟩，𝑆=𝐴+𝐵={𝑡+𝑢|𝑡∈𝐴,𝑢∈𝐵}とおく．

　𝛼+𝛽=𝑎+𝑏を示すには，𝑆=𝑅を示せばよい．

  1. 𝑅⊂𝑆を示す．

    𝑟∈𝑅とする．𝑟<𝑎+𝑏である．補題1.1より，有理数𝑎,𝑏に対し，𝑟=𝑠+𝑡,𝑠<𝑎,𝑡<𝑏なる有理数𝑠,𝑡が存在する．有理数の切断の条件1.より，𝑠<𝑎,𝑡<𝑏なる有理数𝑠,𝑡は𝑠∈𝐴,𝑡∈𝐵．よって，𝑟=𝑠+𝑡∈𝑆なので，𝑅⊂𝑆．

  2. 𝑆⊂𝑅を示す．

    𝑠∈𝑆,𝑠=𝑡+𝑢,𝑡∈𝐴,𝑢∈𝐵とする．𝑡<𝑎,𝑢<𝑏なので，𝑡+𝑢<𝑎+𝑏．したがって，𝑠∈𝑅．つまり，𝑆⊂𝑅．

　以上より，𝑆=𝑅を示せた．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 実数が等しいとはどういうことか．（参考）
  • 実数の和はどのように定義されてるか．