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数学の主張

実数と有理数の加法について（P19）．

定理

　𝛽=𝑏が有理数，𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩が任意の実数のとき，

𝛼+𝑏=⟨𝐴+𝑏,𝐴′+𝑏⟩.

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　有理数𝑏=⟨𝐵,𝐵′⟩,𝐵={𝑟∈ℚ|𝑟<𝑏}なので，実数の加法の定義によれば，

𝛼+𝑏=⟨𝑅,𝑅′⟩,𝑅={𝑡+𝑢|𝑡∈𝐴,𝑢∈𝐵}

となる．

　この定理の主張は，𝑅=𝐴+𝑏 であるということ．もう，{𝑟∈𝑄|𝑟<𝛼+𝑏}によって切断するのではないのかと思うが，そうではない．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

有理数𝑏を実数とみて，𝑏=⟨𝐵,𝐵′⟩,𝐵={𝑟∈ℚ|𝑟<𝑏}とおける．このとき，𝛼+𝑏=⟨𝑅,𝑅′⟩,𝑅=𝐴+𝐵={𝑡+𝑢|𝑡∈𝐴,𝑢∈𝐵}となる．

　𝛼+𝑏=⟨𝐴+𝑏,𝐴′+𝑏⟩を示すには，𝑅=𝐴+𝑏を示せばよい．

  1. 𝑅⊂𝐴+𝑏を示す．

    　𝑟∈𝑅,𝑟=𝑡+𝑢,𝑟∈𝐴,𝑢∈𝐵とする．𝑢<𝑏だから，𝑡−(𝑏−𝑢)<𝑡．有理数の切断の条件3.より，𝑡−(𝑏−𝑢)∈𝐴．このとき，𝑟=𝑡−(𝑏−𝑢)+𝑏となるので，𝑟∈𝐴+𝑏．

  2. 𝐴+𝑏⊂𝑅を示す．

    　𝑟+𝑏∈𝐴+𝑏,𝑟∈𝐴とする．このとき有理数の切断の条件2.より𝐴には最大の有理数が存在しないことから，𝑟<𝑡なる有理数𝑡が存在する．すると，有理数の切断の条件3.より，𝑏−(𝑡−𝑟)∈𝐵である．このとき，𝑟+𝑏=𝑡+𝑏−(𝑡−𝑟)∈𝑅となるので，𝐴+𝑏⊂𝑅．

　以上から，𝐴+𝑏=𝑅．したがって，𝛼+𝑏=⟨𝐴+𝑏,𝐴′+𝑏⟩．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 𝛼+𝛽={𝑟∈ℚ|𝑟<𝛼+𝛽}と誤解していないか．