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数学の主張

実数と有理数の加法について（P19）．

定理

　β=b\beta = bが有理数，α=⟨A,A′⟩\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangleが任意の実数のとき，

α+b=⟨A+b,A′+b⟩.\alpha + b = \langle A +b, A^{\prime} + b \rangle.

定理の主張

　有理数b=⟨B,B′⟩,B={r∈Q ∣ r<b}b = \langle B, B^{\prime} \rangle, B = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space r < b \}なので，実数の加法の定義によれば，

α+b=⟨R,R′⟩,R={t+u ∣ t∈A,u∈B}\alpha + b = \langle R, R^{\prime} \rangle, R = \{ t + u \space | \space t \in A, u \in B \}

となる．

　この定理の主張は，R=A+bR = A + b であるということ．もう，{r∈Q ∣ r<α+b}\{ r \in Q \space | \space r < \alpha + b \}によって切断するのではないのかと思うが，そうではない．

証明の考え方

有理数bbを実数とみて，b=⟨B,B′⟩,B={r∈Q ∣ r<b}b = \langle B, B^{\prime} \rangle, B = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space r < b \} とおける．このとき，α+b=⟨R,R′⟩,R=A+B={t+u ∣ t∈A,u∈B}\alpha + b = \langle R, R^{\prime} \rangle, R = A + B = \{ t + u \space | \space t \in A, u \in B \}となる．

　α+b=⟨A+b,A′+b⟩\alpha + b = \langle A + b, A^{\prime} +b \rangleを示すには，R=A+bR = A + bを示せばよい．

  1. R⊂A+bR \subset A + bを示す．

    　r∈R,r=t+u,r∈A,u∈Br \in R, r = t + u, r \in A, u \in Bとする．u<bu < bだから，t−(b−u)<tt - ( b - u ) < t．有理数の切断の条件3.より，t−(b−u)∈At - ( b - u ) \in A．このとき，r=t−(b−u)+br = t - ( b - u ) + bとなるので，r∈A+br \in A + b．

  2. A+b⊂RA + b \subset Rを示す．

    　r+b∈A+b,r∈Ar + b \in A + b, r \in Aとする．このとき有理数の切断の条件2.よりAAには最大の有理数が存在しないことから，r<tr < tなる有理数ttが存在する．すると，有理数の切断の条件3.より，b−(t−r)∈Bb - ( t - r ) \in Bである．このとき，r+b=t+b−(t−r)∈Rr + b = t + b - ( t - r ) \in Rとなるので，A+b⊂RA + b \subset R．

　以上から，A+b=RA + b = R．したがって，α+b=⟨A+b,A′+b⟩\alpha + b = \langle A + b, A^{\prime} + b \rangle．

復習ノート

  • α+β={r∈Q∣r<α+β}\alpha + \beta = \{ r \in \mathbb{Q} | r < \alpha + \beta \}と誤解していないか．