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数学の主張

実数における逆元と加法．（定義，定理1.8）

定義

　実数𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩において，

−𝛼=⟨−𝐴′,−𝐴⟩,−𝐴′={−𝑟|𝑟∈𝐴′},−𝐴={−𝑟|𝑟∈𝐴}

と定義する．

定理1.8（逆元）

−𝛼+𝛼=𝛼+(−𝛼)=0.

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　加法に関して，−𝛼は𝛼の逆元であるということ．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　𝛼=𝑎が有理数のときは，有理数の計算なので明らか．

　𝛼が無理数の場合を考える．

　𝑆={𝑟∈ℚ|𝑟<0}とおくと，0=⟨𝑆,𝑆′⟩．𝑅=𝐴+(−𝐴′)={𝑟+𝑠|𝑟∈𝐴,𝑠∈−𝐴′}とおくと，𝛼+(−𝛼)=⟨𝑅,𝑅′⟩．

　𝑅=𝑆を示す．

  1. 𝑅⊂𝑆を示す．

    　𝑟+𝑠∈𝑅,𝑟∈𝐴,𝑠∈−𝐴′とする．−𝑠∈𝐴′なので，𝑟<−𝑠．よって，𝑟+𝑠<0．すなわち，𝑟+𝑠∈𝑆．

  2. 𝑆⊂𝑅を示す．

    　𝑡∈𝑆とする．𝑡=𝑟+𝑠,𝑟∈𝐴,𝑠∈−𝐴′なる有理数𝑟,𝑠が存在し，𝑡∈𝑅となることを示す．

    　𝑡<0なので，−𝑡>0である．有理数の稠密性により，1𝑚<−𝑡を満たす自然数𝑚がある．定理1.5より，この自然数𝑚に対し，𝑟<𝛼<𝑟+1𝑚なる有理数𝑟が存在する(𝛼は無理数なので，右側不等式に等号はない．)．𝑟<𝛼なので，𝑟∈𝐴．

    　𝑠=𝑡−𝑟とおく．すると，−𝑠=𝑟−𝑡>𝑟+1𝑚を満たすので，−𝑠>𝛼となり，−𝑠∈𝐴′．よって，𝑠∈−𝐴′．

　以上より，𝑡=𝑟+𝑠を満たす有理数𝑟,𝑠が構成でき，𝑡∈𝑅となる．

　したがって，𝑅=𝑆．

（−𝛼+𝛼=𝛼+(−𝛼)は交換法則により成立する．）