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数学の主張

実数における逆元と加法．（定義，定理1.8）

定義

　実数α=⟨A,A′⟩\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangleにおいて，

−α=⟨−A′,−A⟩, −A′={−r ∣ r∈A′}, −A={−r ∣ r∈A}-\alpha = \langle -A^{\prime}, -A \rangle, \space -A^{\prime} = \{ -r \space | \space r \in A^{\prime} \}, \space -A = \{ -r \space | \space r \in A \}

と定義する．

定理1.8（逆元）

−α+α=α+(−α)=0.-\alpha + \alpha = \alpha + (-\alpha) = 0.

定理の主張

　加法に関して，−α-\alphaはα\alphaの逆元であるということ．

証明の考え方

　α=a\alpha = aが有理数のときは，有理数の計算なので明らか．

　α\alphaが無理数の場合を考える．

　S={r∈Q ∣ r<0}S = \{ r \in \mathbb{Q} \space | \space r < 0 \}とおくと，0=⟨S,S′⟩0 = \langle S, S^{\prime} \rangle．R=A+(−A′)={r+s ∣ r∈A,s∈−A′}R = A + (-A^{\prime}) = \{ r + s \space | \space r \in A, s \in -A^{\prime} \}とおくと，α+(−α)=⟨R,R′⟩\alpha + (-\alpha) = \langle R, R^{\prime} \rangle．

　R=SR = Sを示す．

  1. R⊂SR \subset Sを示す．

    　r+s∈R,r∈A,s∈−A′r + s \in R, r \in A, s \in -A^{\prime}とする．−s∈A′-s \in A^{\prime}なので，r<−sr < -s．よって，r+s<0r + s < 0．すなわち，r+s∈Sr + s \in S．

  2. S⊂RS \subset Rを示す．

    　t∈St \in Sとする．t=r+s,r∈A,s∈−A′t = r + s, r \in A, s \in -A^{\prime}なる有理数r,sr,sが存在し，t∈Rt \in Rとなることを示す．

    　t<0t < 0なので，−t>0-t > 0である．有理数の稠密性により，1m<−t\frac{1}{m} < -tを満たす自然数mmがある．定理1.5より，この自然数mmに対し，r<α<r+1mr < \alpha < r + \frac{1}{m}なる有理数rrが存在する(α\alphaは無理数なので，右側不等式に等号はない．)．r<αr < \alphaなので，r∈Ar \in A．

    　s=t−rs = t - rとおく．すると，−s=r−t>r+1m-s = r - t > r + \frac{1}{m}を満たすので，−s>α-s > \alphaとなり，−s∈A′-s \in A^{\prime}．よって，s∈−A′s \in -A^{\prime}．

　以上より，t=r+st = r + sを満たす有理数r,sr,sが構成でき，t∈Rt \in Rとなる．

　したがって，R=SR = S．

（−α+α=α+(−α)-\alpha + \alpha = \alpha + (-\alpha)は交換法則により成立する．）