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数学の主張

実数の大小と加法の関係（定理1.9，定理1.10）

定理1.9

𝛼≤𝛾,𝛽≤𝛿ならば𝛼+𝛽≤𝛾+𝛿．

定理1.10

𝛼<𝛾,𝛽≤𝛿ならば𝛼+𝛽<𝛾+𝛿．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　わざわざ言うほどではないが，記載しておく．2つの実数の大小がわかっているものが２組あるとき，それぞれを加算した結果も大小関係が変わらない．等号が成り立つのは，２組ともそれぞれ等しいときに限る．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　定理1.9は定理1.10を含む．定理1.9を証明できれば，定理1.10も証明できる．

　定理1.9は以下の４つを示せばよい．そのうち，(2)と(4)は定理1.10にあたる．

  • (1)𝛼=𝛾かつ𝛽=𝛿 ならば，𝛼+𝛽=𝛾+𝛿．
  • (2)𝛼<𝛾かつ𝛽=𝛿ならば，𝛼+𝛽<𝛾+𝛿．
  • (3)𝛼=𝛾かつ𝛽<𝛿ならば，𝛼+𝛽<𝛾+𝛿．
  • (4)𝛼<𝛾かつ𝛽<𝛿ならば，𝛼+𝛽<𝛾+𝛿．

　𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩，𝛽=⟨𝐵,𝐵′⟩，𝛾=⟨𝐶,𝐶′⟩，𝛿=⟨𝐷,𝐷′⟩とおく．

　𝛼=𝛾,𝛽=𝛿とする．すると，𝐴=𝐶,𝐵=𝐷．よって𝐴+𝐵=𝐶+𝐷．したがって，𝛼+𝛽=𝛾+𝛿．

　𝛼<𝛾,𝛽=𝛿とする．すると，𝐴⊊𝐶,𝐵=𝐷．このとき，𝐴+𝐵⊊𝐶+𝐷．したがって，𝛼+𝛽<𝛾+𝛿．

　𝛼=𝛾,𝛽<𝛿のときも同様．

　𝛼<𝛾,𝛽<𝛿とする．すると，𝐴⊊𝐶,𝐵⊊𝐷．このとき，𝐴+𝐵⊊𝐶+𝐷．したがって，𝛼+𝛽<𝛾+𝛿．

　以上より，定理1.9が成り立つ．同時に定理1.10も成り立つ．

系1，2について

Section titled “系1，2について”

　上記定理が証明できたことで，以下がすぐにわかる．いや，まあまあ悩んだ．

系1

　不等式𝛼>𝛽は𝛼−𝛽>0と同値である．

系2

　不等式𝛼<0は−𝛼>0と同値である．

系1，2の主張

Section titled “系1，2の主張”

　実数においても有理数と同様に，左辺および右辺へ符号を変えて移行できるものと考えてよい．

系1の証明の考え方

Section titled “系1の証明の考え方”

　𝛼>𝛽と仮定する．−𝛽=−𝛽なので，定理1.10から𝛼−𝛽>𝛽−𝛽=0．よって，𝛼−𝛽>0．

　𝛼−𝛽>0と仮定する．𝛽=𝛽なので，定理1.10から𝛼−𝛽+𝛽>0+𝛽=𝛽．よって，𝛼>𝛽．

　以上により，𝛼>𝛽と𝛼−𝛽>0は同値．

系2の証明の考え方

Section titled “系2の証明の考え方”

　𝛼<0と仮定する．−𝛼=−𝛼なので，定理1.10から0=𝛼−𝛼<−𝛼．よって，0<−𝛼．

　−𝛼>0と仮定する．𝛼=𝛼なので，定理1.10から−𝛼+𝛼>0+𝛼．よって，0>𝛼．

　以上により，𝛼<0と−𝛼>0は同値．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 定理1.1が4つの条件に関係していることがわかるか．