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数学の主張

実数の大小と加法の関係（定理1.9，定理1.10）

定理1.9

α≤γ, β≤δ ならば α+β≤γ+δ．\alpha \le \gamma, \space \beta \le \delta \space \text{ならば} \space \alpha + \beta \le \gamma + \delta．

定理1.10

α<γ, β≤δ ならば α+β<γ+δ．\alpha < \gamma, \space \beta \le \delta \space \text{ならば} \space \alpha + \beta < \gamma + \delta．

定理の主張

　わざわざ言うほどではないが，記載しておく．2つの実数の大小がわかっているものが２組あるとき，それぞれを加算した結果も大小関係が変わらない．等号が成り立つのは，２組ともそれぞれ等しいときに限る．

証明の考え方

　定理1.9は定理1.10を含む．定理1.9を証明できれば，定理1.10も証明できる．

　定理1.9は以下の４つを示せばよい．そのうち，(2)と(4)は定理1.10にあたる．

  • (1)α=γ\alpha = \gammaかつβ=δ\beta = \delta ならば，α+β=γ+δ\alpha + \beta = \gamma + \delta．
  • (2)α<γ\alpha < \gammaかつβ=δ\beta = \deltaならば，α+β<γ+δ\alpha + \beta < \gamma + \delta．
  • (3)α=γ\alpha = \gammaかつβ<δ\beta < \deltaならば，α+β<γ+δ\alpha + \beta < \gamma + \delta．
  • (4)α<γ\alpha < \gammaかつβ<δ\beta < \deltaならば，α+β<γ+δ\alpha + \beta < \gamma + \delta．

　α=⟨A,A′⟩\alpha = \langle A, A^{\prime} \rangle，β=⟨B,B′⟩\beta = \langle B, B^{\prime} \rangle，γ=⟨C,C′⟩\gamma = \langle C, C^{\prime} \rangle，δ=⟨D,D′⟩\delta = \langle D, D^{\prime} \rangleとおく．

　α=γ,β=δ\alpha = \gamma, \beta = \deltaとする．すると，A=C,B=DA = C, B=D．よってA+B=C+DA+B = C+D．したがって，α+β=γ+δ\alpha + \beta = \gamma + \delta．

　α<γ,β=δ\alpha < \gamma, \beta = \deltaとする．すると，A⊊C,B=DA \subsetneq C, B = D．このとき，A+B⊊C+DA + B \subsetneq C + D．したがって，α+β<γ+δ\alpha + \beta < \gamma + \delta．

　α=γ,β<δ\alpha = \gamma, \beta < \deltaのときも同様．

　α<γ,β<δ\alpha < \gamma, \beta < \deltaとする．すると，A⊊C,B⊊DA \subsetneq C, B \subsetneq D．このとき，A+B⊊C+DA + B \subsetneq C + D．したがって，α+β<γ+δ\alpha + \beta < \gamma + \delta．

　以上より，定理1.9が成り立つ．同時に定理1.10も成り立つ．

系1，2について

　上記定理が証明できたことで，以下がすぐにわかる．いや，まあまあ悩んだ．

系1

　不等式α>β\alpha > \betaはα−β>0\alpha - \beta > 0と同値である．

系2

　不等式α<0\alpha < 0は−α>0-\alpha > 0と同値である．

系1，2の主張

　実数においても有理数と同様に，左辺および右辺へ符号を変えて移行できるものと考えてよい．

系1の証明の考え方

　α>β\alpha > \betaと仮定する．−β=−β- \beta = -\betaなので，定理1.10からα−β>β−β=0\alpha - \beta > \beta -\beta = 0．よって，α−β>0\alpha - \beta > 0．

　α−β>0\alpha - \beta > 0と仮定する．β=β\beta = \betaなので，定理1.10からα−β+β>0+β=β\alpha - \beta + \beta > 0 + \beta = \beta．よって，α>β\alpha > \beta．

　以上により，α>β\alpha > \betaとα−β>0\alpha - \beta > 0は同値．

系2の証明の考え方

　α<0\alpha < 0と仮定する．−α=−α-\alpha = -\alphaなので，定理1.10から0=α−α<−α0 = \alpha -\alpha < -\alpha．よって，0<−α0 < -\alpha．

　−α>0-\alpha > 0と仮定する．α=α\alpha = \alphaなので，定理1.10から−α+α>0+α-\alpha + \alpha > 0 + \alpha．よって，0>α0 > \alpha．

　以上により，α<0\alpha < 0と−α>0-\alpha > 0は同値．

復習ノート

  • 定理1.1が4つの条件に関係していることがわかるか．