実数の極限の定義（定義1.4）

定義(数列)

　$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \cdots$のように実数を一列に並べたものを数列といい，$\{ \alpha_n \}$で表わす．

定義1.4

　数列$\{ \alpha \}$が与えられたとし，$\alpha$を１つの実数とする．任意の正の実数$\varepsilon$に対応して自然数$n_0(\varepsilon)$が定まって，

$$n > n_0(\varepsilon) \space ならば \space |\alpha_n - \alpha| < \varepsilon$$

となるとき，数列$\{ \alpha_n\}$は$\alpha$に収束する，また$\alpha$は数列$\{ \alpha_n \}$の極限である，あるいは極限値であるといい，

$$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = \alpha$$

と書く．

定義の主張

　$\alpha$との距離がどんなものでも，数列がその範囲に無数にあるとき， 数列が$\alpha$に収束するということ．

　$n$が限りなく大きいと$\alpha_n$は$\alpha$にとても近いと主張している． $\alpha$との近さをどのように決めても，その距離内には無数の$\alpha_n$がある．

　$\alpha_n$と$\alpha_{n+1}$を比べたら， $\alpha_{n+1}$の方が$\alpha$に近いなどと主張しているわけではない． そんな近場の２つの数列の比較など大切ではない． $n$がとてつもなく大きい方がそうでない場合と比べ，$\alpha$に近い． そして，$\alpha$の付近に$\alpha_n$が密集しているということ．

　$\alpha_n$がだんだん近づくような，きれいな数列でなくとも収束する． 「大きくなるにつれて」などの語句は数列の本質を外してしまうので，誤解しないように注意．

　ここまですべて定義を言い換えたような主張を書いたが，位相構造の観点で書いてみようと思う． ただ本人はまだはっきりと位相構造を理解していないので，その点は注意だ．

　$\alpha$に収束する数列$\{ \alpha_n \}$は，$\alpha$と「近さ」で関係している． $\alpha$とどんなに近いところにも$\alpha_n$がいる．

その他

　この概念は，実数の大小，加減，距離が定義されることで扱えるもの．