定義(数列)
のように実数を一列に並べたものを数列といい，で表わす．
実数の極限の定義（定義1.4）
定義1.4
数列が与えられたとし，を１つの実数とする．任意の正の実数に対応して自然数が定まって，
となるとき，数列はに収束する，または数列の極限である，あるいは極限値であるといい，
と書く．
との距離がどんなものでも，数列がその範囲に無数にあるとき， 数列がに収束するということ．
が限りなく大きいとはにとても近いと主張している． との近さをどのように決めても，その距離内には無数のがある．
とを比べたら， の方がに近いなどと主張しているわけではない． そんな近場の２つの数列の比較など大切ではない． がとてつもなく大きい方がそうでない場合と比べ，に近い． そして，の付近にが密集しているということ．
がだんだん近づくような，きれいな数列でなくとも収束する． 「大きくなるにつれて」などの語句は数列の本質を外してしまうので，誤解しないように注意．
ここまですべて定義を言い換えたような主張を書いたが，位相構造の観点で書いてみようと思う． ただ本人はまだはっきりと位相構造を理解していないので，その点は注意だ．
に収束する数列は，と「近さ」で関係している． とどんなに近いところにもがいる．
この概念は，実数の大小，加減，距離が定義されることで扱えるもの．