定理1.12
数列が実数に収束するための必要十分条件は， なる実数が任意に与えられたとき，不等式：
が有限個の自然数を除いて成立することである．
収束の定義の言い換え(定理1.12)
収束するということは，と任意の差の範囲(めちゃくちゃ近いところ)にが必ずいるということだった． でもそれって，均等な差ではなくもっと柔軟に考えて，を含む任意の範囲で考えても同じだよねということ． さえ含めば，どんな範囲にもが無数にいるなら， 数列がに収束していることの定義と変わらない．
必要条件(⇒)
Section titled “必要条件(⇒)”数列がに収束すると仮定．また，なる実数が与えられたとする． このとき，とすると，は正の実数である．
このに対して，ある自然数が対応していて，の自然数において が成り立つ（仮定から）． つまり，．
と合わせると， ． つまり，の自然数に対してが成り立つ． すなわち，有限個の自然数を除いてが成り立つ．
十分条件(⇐)
Section titled “十分条件(⇐)”なる実数が与えられたとし，このとき不等式：
が有限個の自然数を除いて成り立つと仮定する． とすると， は有限個の自然数を除いて成り立つ．
この有限個の自然数の中で一番大きいものをとすると，ならばが 成り立つということである．
以上を整理すると，実数により任意に正の実数がとれ， このに対応する自然数もとれて，ならば が成立する．すなわち，数列がに収束することがわかった．