収束の定義の言い換え(定理1.12)

定理1.12

　数列$\{ \alpha_n \}$が実数$\alpha$に収束するための必要十分条件は， $\rho < \alpha < \sigma$なる実数$\rho, \sigma$が任意に与えられたとき，不等式：

$$\rho < \alpha_n < \sigma$$

が有限個の自然数$n$を除いて成立することである．

定理の主張

　収束するということは，$\alpha$と任意の差$\varepsilon$の範囲(めちゃくちゃ近いところ)に$\alpha_n$が必ずいるということだった． でもそれって，均等な差$\varepsilon$ではなくもっと柔軟に考えて，$\alpha$を含む任意の範囲で考えても同じだよねということ． $\alpha$さえ含めば，どんな範囲にも$\alpha_n$が無数にいるなら， 数列$\{ \alpha_n \}$が$\alpha$に収束していることの定義と変わらない．

証明

必要条件(⇒)

　数列$\{ \alpha_n \}$が$\alpha$に収束すると仮定．また，$\rho < \alpha < \sigma$なる実数$\rho, \sigma$が与えられたとする． このとき，$\varepsilon = min(\alpha-\rho, \sigma-\alpha)$とすると，$\varepsilon$は正の実数である．

　この$\varepsilon$に対して，ある自然数$n_0$が対応していて，$n > n_0$の自然数$n$において $|\alpha_n - \alpha| < \varepsilon$が成り立つ（仮定から）． つまり，$-\varepsilon + \alpha < \alpha_n < \varepsilon + \alpha$．

　$\varepsilon = min(\alpha-\rho, \sigma-\alpha)$と合わせると， $\rho \leq -\varepsilon + \alpha < \alpha_n < \varepsilon + \alpha \leq \sigma$． つまり，$n > n_0$の自然数$n$に対して$\rho < \alpha_n < \sigma$が成り立つ． すなわち，有限個の自然数$n$を除いて$\rho < \alpha < \sigma$が成り立つ．

十分条件(⇐)

　$\rho < \alpha < \sigma$なる実数$\rho, \sigma$が与えられたとし，このとき不等式：

$$\rho < \alpha_n < \sigma$$

が有限個の自然数$n$を除いて成り立つと仮定する． $\varepsilon = min(\alpha-\rho, \sigma-\alpha)$とすると，$-\varepsilon+\alpha < \alpha_n < \varepsilon+\alpha$ は有限個の自然数$n$を除いて成り立つ．

　この有限個の自然数$n$の中で一番大きいものを$n_0$とすると，$n > n_0$ならば$-\varepsilon+\alpha < \alpha_n < \varepsilon+\alpha$が 成り立つということである．

　以上を整理すると，実数$\rho, \sigma$により任意に正の実数$\varepsilon$がとれ， この$\varepsilon$に対応する自然数$n_0$もとれて，$n > n_0$ならば$-\varepsilon+\alpha < \alpha_n < \varepsilon+\alpha$ が成立する．すなわち，数列$\{ \alpha_n \}$が$\alpha$に収束することがわかった．